Линейное уравнение с двумя переменными, его график, примеры решения уравнений в целых числах

Научиться понимать, что такое линейное уравнение с двумя переменными, строить его график и находить целочисленные решения.

Такие уравнения описывают множество реальных зависимостей: от расчёта бюджета (цена × количество) до физических законов (путь = скорость × время). Умение решать их в целых числах важно для оптимизации ресурсов (например, сколько товаров купить на определённую сумму).

• Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид ax + by = c, где a, b, c — числа, причём a и b не равны нулю одновременно.
• Решением уравнения называется пара чисел (x; y), которая обращает уравнение в верное равенство.
• Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая линия.
• Для построения графика достаточно найти две точки, удовлетворяющие уравнению, и провести через них прямую.
• Если коэффициент при переменной равен нулю, уравнение вырождается в линейное уравнение с одной переменной (график — вертикальная или горизонтальная прямая).
• Уравнение может иметь бесконечно много решений, но в целых числах — конечное или бесконечное множество, которое можно найти перебором или алгоритмически.
• Решение в целых числах часто требует выделения целой части или использования свойств делимости.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа (коэффициенты), причём a и b не равны нулю одновременно.

Решение уравнения с двумя переменными

Пара чисел (x; y), при подстановке которых в уравнение получается верное числовое равенство.

График уравнения

Множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Координатная плоскость

Плоскость, на которой заданы две перпендикулярные оси — горизонтальная (ось x) и вертикальная (ось y), с общим началом отсчёта.

Целые числа

Числа, не имеющие дробной части: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... (включая отрицательные и ноль).

• Общий вид: ax + by = c. Если a ≠ 0 и b ≠ 0, то график — наклонная прямая; если a = 0, то прямая горизонтальная (y = c/b); если b = 0 — вертикальная (x = c/a).
• Для построения графика достаточно двух точек: например, подставить x = 0 и найти y, затем подставить y = 0 и найти x (точки пересечения с осями).
• Если уравнение имеет вид y = kx + m (выражено y через x), то k — угловой коэффициент (наклон прямой), m — точка пересечения с осью y.
• Чтобы найти целочисленные решения, можно выразить одну переменную через другую и подбирать целые значения, проверяя делимость.
• Если a и b взаимно просты, то уравнение ax + by = c имеет бесконечно много целых решений (теорема о линейных диофантовых уравнениях).
• График уравнения — это прямая, которая делит плоскость на две полуплоскости; все точки прямой удовлетворяют уравнению.

1. Пример 1случай

   Уравнение 2x + 3y = 6. Если x = 0, то y = 2; если y = 0, то x = 3. График

   Пояснение

   • прямая, проходящая через точки (0;2) и (3;0)
2. Пример 2расчёт

   В жизни

   Решение

   • купили x ручек по 10 рублей и y карандашей по 5 рублей, всего потратили 50 рублей
   • Уравнение 10x + 5y = 50
   • Целочисленные решения: (0;10), (1;8), (2;6), (3;4), (4;2), (5;0)
3. Пример 3расчёт
   • Уравнение y = 2x + 1. График — прямая с наклоном 2
   • пересекающая ось y в точке 1. При x = 1
   • y = 3 — точка (1;3) лежит на прямой

• Линейные уравнения с двумя переменными называют диофантовыми в честь древнегреческого математика Диофанта, который изучал решения в целых числах.
• График линейного уравнения — это простейший пример прямой, а прямая — основа всей геометрии: через две точки можно провести только одну прямую.
• В экономике линейные уравнения используются для расчёта точки безубыточности: когда доход равен расходу.

• Линейная функция и её график (7 класс)
• Системы линейных уравнений (8 класс)
• Координатная плоскость (6 класс)
• Делимость чисел (6 класс)