Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Научиться находить решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными разными способами и понимать, когда решений нет или их бесконечно много.

Системы уравнений — это математическая модель реальных ситуаций, где нужно найти два неизвестных значения, удовлетворяющих двум условиям одновременно. Например, в экономике (цена и количество), в физике (скорость и время), в задачах на смеси и сплавы.

• Система двух линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения, которые должны выполняться одновременно.
• Решением системы называется пара чисел (x; y), которая обращает оба уравнения в верные равенства.
• Графически каждое уравнение — прямая, а решение системы — точка пересечения этих прямых.
• Если прямые пересекаются в одной точке, система имеет единственное решение.
• Если прямые параллельны, система не имеет решений (несовместна).
• Если прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений (неопределённа).
• Способ подстановки: выражаем одну переменную через другую и подставляем во второе уравнение.
• Способ сложения: складываем уравнения так, чтобы одна переменная уничтожилась.

Система уравнений

Два или более уравнения, которые рассматриваются вместе, и нужно найти значения переменных, удовлетворяющие всем уравнениям одновременно.

Решение системы

Пара чисел (x; y), которая при подстановке в оба уравнения превращает их в верные числовые равенства.

Графический способ

Метод решения, при котором строят графики уравнений на координатной плоскости и находят точки их пересечения.

Способ подстановки

Алгебраический метод: из одного уравнения выражают одну переменную и подставляют это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной.

Способ сложения

Алгебраический метод: уравнения складывают (или вычитают) так, чтобы одна из переменных исчезла, и получают уравнение с одной переменной.

Несовместная система

Система, у которой нет решений, потому что прямые параллельны (не пересекаются).

Неопределённая система

Система, у которой бесконечно много решений, потому что прямые совпадают (графики одинаковые).

• Графиком линейного уравнения с двумя переменными ax + by = c является прямая линия.
• Если коэффициенты при x и y пропорциональны, а свободные члены нет, то прямые параллельны — решений нет.
• Если все коэффициенты пропорциональны (включая свободные члены), то прямые совпадают — решений бесконечно много.
• Способ подстановки удобен, когда хотя бы один коэффициент при переменной равен 1 или -1.
• Способ сложения удобен, когда коэффициенты при одной переменной противоположны или легко подбираются умножением.
• При решении способом сложения можно умножать уравнения на числа, чтобы уравнять модули коэффициентов перед одной переменной.

1. Пример 1расчёт

   Пример из жизни

   Решение

   • купили 3 кг яблок и 2 кг груш за 500 рублей, а в другой раз 2 кг яблок и 4 кг груш за 600 рублей
   • Если обозначить цену яблок за x, а груш за y, получим систему: 3x + 2y = 500, 2x + 4y = 600
   • Решение — цена каждого фрукта
2. Пример 2расчёт

   Графический пример

   Решение

   • уравнения y = 2x + 1 и y = -x + 4. Прямые пересекаются в точке (1
   • 3), значит, решение системы — x=1, y=3
3. Пример 3расчёт

   Пример несовместной системы

   Решение

   • y = 2x + 1 и y = 2x - 3
   • Прямые параллельны (коэффициенты при x одинаковы), решений нет
4. Пример 4расчёт

   Пример неопределённой системы

   Решение

   • y = 3x - 2 и 2y = 6x - 4
   • Второе уравнение — это первое, умноженное на 2, прямые совпадают, решений бесконечно много

• Метод подстановки использовали ещё древнекитайские математики в трактате «Математика в девяти книгах» (II век до н.э.).
• Графический способ решения систем стал возможен после изобретения координатной плоскости Рене Декартом в XVII веке.
• Системы уравнений применяются в компьютерной графике для расчёта пересечения линий и поверхностей.

• Линейные уравнения с двумя переменными и их графики
• Решение линейных уравнений с одной переменной
• Функции и их графики (линейная функция)