Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными

Научиться решать системы нелинейных уравнений с двумя переменными, используя графический метод и метод подстановки, и понимать, что означает решение системы.

Нелинейные системы описывают множество реальных ситуаций: от движения тел (параболическая траектория) до экономических моделей (спрос и предложение). Умение решать их позволяет находить точки пересечения различных зависимостей, например, где график прямой пересекает параболу или окружность.

• Система нелинейных уравнений — это два или более уравнения, среди которых хотя бы одно не является линейным (например, содержит x², y² или xy).
• Решением системы называется упорядоченная пара чисел (x; y), которая обращает оба уравнения в верные равенства.
• Графический метод основан на том, что координаты точек пересечения графиков уравнений являются решениями системы.
• Метод подстановки заключается в выражении одной переменной через другую из более простого уравнения и подстановке в другое уравнение.
• При решении систем нелинейных уравнений может быть несколько решений, одно решение или ни одного.
• Графический метод часто даёт приближённые значения, а метод подстановки — точные.
• Для проверки решения необходимо подставить найденную пару чисел в оба исходных уравнения.

Система уравнений

Два или несколько уравнений, которые рассматриваются совместно, и нужно найти значения переменных, удовлетворяющие всем уравнениям одновременно.

Решение системы

Пара чисел (x; y), при подстановке которой в каждое уравнение системы получаются верные числовые равенства.

Нелинейное уравнение

Уравнение, в котором переменные входят в степени выше первой, под знаком корня, или есть их произведение (например, x² + y² = 25, xy = 6).

Графический метод решения системы

Способ решения, при котором строят графики всех уравнений системы на одной координатной плоскости и находят координаты точек их пересечения.

Метод подстановки

Алгебраический способ решения системы, при котором из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной.

• Графиком уравнения x² + y² = r² является окружность с центром в начале координат и радиусом r.
• Графиком уравнения y = ax² + bx + c (a ≠ 0) является парабола.
• Графиком уравнения y = k/x (k ≠ 0) является гипербола.
• Количество решений системы равно числу точек пересечения графиков уравнений.
• Метод подстановки особенно удобен, когда одно из уравнений линейное: из него легко выразить одну переменную.
• При решении систем нелинейных уравнений часто получаются квадратные уравнения, которые могут иметь два корня, один или ни одного.

1. Пример 1расчёт

   Пример 1

   Решение

   • Система { y = x², y = 2x + 3 }
   • График первого уравнения — парабола, второго — прямая
   • Они пересекаются в двух точках, значит, система имеет два решения
2. Пример 2расчёт

   Пример 2

   Решение

   • Система { x² + y² = 25, y = 3 }. Окружность радиусом 5 и горизонтальная прямая y = 3 пересекаются в двух точках: (4
   • 3) и (-4
   • 3)
3. Пример 3расчёт

   Пример 3

   Решение

   • Система { xy = 6, x + y = 5 }. График первого — гипербола, второго — прямая. Они пересекаются в точках (2
   • 3) и (3
   • 2), что легко проверить подстановкой

• Графический метод решения систем уравнений использовал ещё Рене Декарт в XVII веке, когда придумал координатную плоскость.
• Пересечение параболы и прямой может дать до двух решений, а пересечение двух окружностей — до двух точек, но если окружности совпадают, решений бесконечно много.
• В астрономии системы нелинейных уравнений помогают рассчитывать орбиты планет, которые являются эллипсами (частный случай нелинейных кривых).

• Линейные уравнения с двумя переменными и их графики
• Квадратные уравнения
• Функции y = x², y = k/x и их графики
• Уравнение окружности