Числовые неравенства и их свойства

Научиться понимать, что такое числовое неравенство, и применять его основные свойства для сравнения чисел и выражений.

Неравенства повсюду: от сравнения цен в магазине до ограничений скорости на дороге. В науке и технике они описывают диапазоны допустимых значений (например, температуру хранения лекарства или прочность материалов). Понимание свойств неравенств — фундамент для решения уравнений и неравенств в старших классах и в жизни.

• Числовое неравенство — это утверждение о том, что одно число больше или меньше другого.
• Строгие неравенства (< и >) исключают равенство, а нестрогие (≤ и ≥) допускают его.
• Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, знак неравенства не изменится.
• Если обе части неравенства умножить или разделить на положительное число, знак неравенства не изменится.
• Если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный.
• Неравенства одинакового знака можно складывать, но нельзя вычитать и делить.
• Неравенства позволяют сравнивать не только числа, но и выражения, и давать им оценку.

Числовое неравенство

Соотношение между числами или выражениями, показывающее, что одно больше, меньше другого или равно ему, записанное с помощью знаков <, >, ≤, ≥.

Строгое неравенство

Неравенство, которое использует знаки < (меньше) или > (больше) и не допускает равенства.

Нестрогое неравенство

Неравенство, которое использует знаки ≤ (меньше или равно) или ≥ (больше или равно) и допускает равенство.

Двойное неравенство

Запись вида a < b < c, которая означает, что b больше a, но меньше c, то есть b находится между a и c.

Сравнение чисел

Определение, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому, на основе их разности или координатной прямой.

• Для любых чисел a и b: a > b тогда и только тогда, когда a − b > 0; a < b тогда и только тогда, когда a − b < 0; a = b тогда и только тогда, когда a − b = 0.
• Если a > b, то b < a (свойство антисимметричности).
• Если a > b и b > c, то a > c (свойство транзитивности).
• Если a > b, то a + c > b + c для любого числа c.
• Если a > b и c > 0, то ac > bc; если c < 0, то ac < bc.
• Если a > b и c > d, то a + c > b + d (сложение неравенств одного знака).
• Если a > b > 0 и c > d > 0, то ac > bd (умножение неравенств одного знака с положительными частями).

1. Пример 1расчёт
   • Если на улице температура −5°C, а вчера была −3°C, то −5 < −3
   • потому что −5 − (−3) = −2 < 0
2. Пример 2случай
   • Скорость автомобиля на трассе не должна превышать 90 км/ч: это записывается как v ≤ 90
3. Пример 3случай
   • Рост человека обычно находится в пределах от 50 см до 250 см: 50 ≤ h ≤ 250
4. Пример 4случай
   • Если у тебя есть 500 рублей, а пирожок стоит 45 рублей, то количество пирожков n удовлетворяет неравенству 45n ≤ 500

• Знак «больше» (>) и «меньше» (<) придумал английский математик Томас Хэрриот в 1631 году, и они быстро стали стандартом.
• В Древней Греции сравнение чисел использовали для доказательства геометрических фактов, например, что диаметр делит круг на две равные части.
• Неравенства лежат в основе теории оптимизации: например, чтобы найти максимальную прибыль или минимальные затраты, нужно решать системы неравенств.

• Сравнение значений выражений
• Числовые промежутки
• Решение линейных неравенств
• Системы неравенств