Неравенство с одной переменной

Научиться понимать, что такое неравенство с одной переменной, как находить его решения и правильно их записывать и изображать.

Неравенства окружают нас в жизни: например, чтобы купить билет в кино, нужно, чтобы возраст был не меньше определённого, или чтобы успеть на автобус, нужно прийти не позже определённого времени. В науке и технике неравенства описывают ограничения: допустимые нагрузки, температуры, скорости. Понимание неравенств помогает анализировать условия и принимать решения.

• Неравенство с одной переменной — это выражение вида f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0 или f(x) ≤ 0, где f(x) — выражение с переменной x.
• Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых неравенство становится верным числовым утверждением.
• Решением неравенства обычно является не одно число, а целое множество чисел — числовой промежуток.
• Неравенства, имеющие одинаковые множества решений, называются равносильными.
• При переносе слагаемого из одной части неравенства в другую знак неравенства не меняется.
• При умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется.
• При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Строгие неравенства (>, <) исключают граничную точку, нестрогие (≥, ≤) — включают.

Неравенство с одной переменной

Выражение, в котором две части (левая и правая) соединены знаком сравнения: >, <, ≥ или ≤, и в котором есть одна переменная (например, x).

Решение неравенства

Значение переменной, при подстановке которого неравенство превращается в верное числовое утверждение (например, 3 > 2).

Множество решений

Все значения переменной, которые являются решениями неравенства. Обычно это промежуток на числовой прямой.

Числовой промежуток

Множество чисел, удовлетворяющих определённому условию, например, все числа больше 2 или все числа от -1 до 5 включительно.

Равносильные неравенства

Неравенства, у которых совпадают множества решений. Например, x > 3 и 2x > 6 равносильны.

Строгое неравенство

Неравенство со знаком > или <, которое исключает граничную точку. Например, x > 2 означает, что 2 не является решением.

Нестрогое неравенство

Неравенство со знаком ≥ или ≤, которое включает граничную точку. Например, x ≥ 2 означает, что 2 является решением.

• Решение неравенства можно изображать на числовой прямой: закрашенная точка означает, что число входит в решение (нестрогое неравенство), выколотая — не входит (строгое неравенство).
• При переносе слагаемого из одной части неравенства в другую, знак неравенства не меняется: x + 5 > 7 равносильно x > 2.
• При умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется: если x > 3, то 2x > 6.
• При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: если -x > 3, то x < -3.
• Линейное неравенство с одной переменной имеет вид ax + b > 0 (или <, ≥, ≤), где a ≠ 0. Его решение — промежуток, который зависит от знака a.
• Если a > 0, то неравенство ax + b > 0 решается как x > -b/a; если a < 0, то знак меняется: x < -b/a.

1. Пример 1случай
   • Если в магазине действует акция «скидка 10% при покупке от 1000 рублей», то сумма покупки S должна удовлетворять неравенству S ≥ 1000
2. Пример 2случай
   • Чтобы пройти на аттракцион, рост ребёнка должен быть не меньше 120 см: рост h ≥ 120
3. Пример 3случай
   • Скорость автомобиля на трассе не должна превышать 90 км/ч: v ≤ 90
4. Пример 4случай
   • Для приготовления теста нужно взять муки больше, чем сахара: если муки m кг, а сахара s кг, то m > s

• Знак неравенства «>» и «<» придумал английский математик Томас Гарриот в 1631 году, но они стали популярны только через столетие.
• В Древнем Китае для сравнения чисел использовали палочки: если одна палочка была длиннее другой, это означало «больше».
• Неравенства широко используются в экономике: например, чтобы рассчитать, при каком объёме производства прибыль будет положительной, нужно решить неравенство.

• Линейные уравнения
• Числовые неравенства
• Системы неравенств
• Числовые промежутки