Линейные неравенства с одной переменной и их решение

Научиться решать линейные неравенства с одной переменной и записывать ответ в виде промежутка или числового луча.

Неравенства встречаются везде, где есть ограничения: от бюджета семьи (траты не больше дохода) до технических допусков (размер детали не меньше и не больше заданного). Умение решать неравенства помогает анализировать условия и находить допустимые значения.

• Линейное неравенство с одной переменной имеет вид ax + b > 0 (или <, ≥, ≤), где a и b — числа, a ≠ 0.
• Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых неравенство становится верным.
• При переносе слагаемого из одной части неравенства в другую знак слагаемого меняется, а знак неравенства сохраняется.
• При умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется.
• При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Решение линейного неравенства — это числовой промежуток (луч, открытый луч, отрезок или интервал).
• Неравенства, имеющие одинаковые множества решений, называются равносильными.

Линейное неравенство с одной переменной

Неравенство вида ax + b > 0 (или <, ≥, ≤), где a и b — числа, a ≠ 0. Например, 2x - 5 > 0.

Решение неравенства

Значение переменной, при подстановке которого неравенство становится верным числовым неравенством.

Множество решений

Все значения переменной, которые являются решениями неравенства. Обычно записывается в виде промежутка.

Равносильные неравенства

Неравенства, у которых совпадают множества решений. Например, 2x > 4 и x > 2 равносильны.

Числовой промежуток

Множество чисел, удовлетворяющих определенному условию. Например, x > 3 — это открытый луч (3; +∞).

Строгое неравенство

Неравенство со знаком > или <, которое не включает граничное значение. Например, x < 5 — число 5 не входит в решение.

Нестрогое неравенство

Неравенство со знаком ≥ или ≤, которое включает граничное значение. Например, x ≥ 5 — число 5 входит в решение.

• Если a > 0, то неравенство ax + b > 0 решается делением на a: x > -b/a, знак не меняется.
• Если a < 0, то при делении на a знак неравенства меняется на противоположный: ax + b > 0 → x < -b/a.
• При переносе слагаемого через знак неравенства его знак меняется, например: 3x - 2 < 7 → 3x < 9.
• Граничная точка включается в решение для нестрогих неравенств (≥, ≤) и не включается для строгих (>, <).
• Ответ можно записывать в виде промежутка: (a; +∞), (-∞; a), [a; +∞), (-∞; a].
• Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, получится равносильное неравенство.
• Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, знак неравенства изменится, но равносильность сохранится.

1. Пример 1случай
   • Если скорость автомобиля должна быть не больше 90 км/ч, то это неравенство v ≤ 90, и решение — все числа от 0 до 90 включительно
2. Пример 2случай

   Для приготовления теста нужно взять муки не менее 300 г: m ≥ 300, решение

   Пояснение

   • луч [300
   • +∞)
3. Пример 3случай
   • Температура хранения лекарства должна быть от +2 до +8 градусов: 2 ≤ t ≤ 8, это пересечение двух неравенств t ≥ 2 и t ≤ 8

• Знак неравенства > и < придумал английский математик Томас Хэрриот в 1631 году, но они стали популярны только через столетие.
• В Древнем Китае неравенства использовали для решения задач о распределении ресурсов, но записывали их словами, а не символами.
• Неравенства лежат в основе работы алгоритмов машинного обучения: например, при классификации данных сравниваются значения функций.

• Числовые неравенства и их свойства
• Системы линейных неравенств
• Линейные уравнения с одной переменной
• Числовые промежутки