Системы линейных неравенств с одной переменной и их решение

Научиться решать систему линейных неравенств с одной переменной и записывать её решение в виде числового промежутка.

Системы неравенств помогают описывать реальные условия, когда нужно одновременно выполнить несколько ограничений. Например, чтобы выбрать подходящую скорость движения, температуру хранения продукта или размер детали, нужно учесть сразу несколько требований.

• Система линейных неравенств с одной переменной — это два или более линейных неравенства, которые должны выполняться одновременно.
• Решением системы является пересечение множеств решений каждого неравенства.
• Чтобы решить систему, нужно решить каждое неравенство отдельно, а затем найти общую часть полученных промежутков.
• Ответ записывается в виде числового промежутка (или объединения промежутков), если решений несколько.
• Если общих точек нет, то система не имеет решений.
• На координатной прямой решение системы изображается штриховкой, которая показывает пересечение промежутков.
• Строгие неравенства (>, <) обозначаются выколотыми точками, нестрогие (≥, ≤) — закрашенными.

Система неравенств

Несколько неравенств, записанных вместе и объединённых фигурной скобкой, которые должны выполняться одновременно.

Решение системы неравенств

Число (или множество чисел), которое при подстановке в каждое неравенство превращает их в верные числовые неравенства.

Пересечение множеств

Множество, состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам.

Числовой промежуток

Множество всех чисел, удовлетворяющих определённому условию (например, x > 3 или 2 ≤ x < 5).

Строгое неравенство

Неравенство со знаком > или <, которое не включает граничное число.

Нестрогое неравенство

Неравенство со знаком ≥ или ≤, которое включает граничное число.

• Чтобы решить систему неравенств, нужно решить каждое неравенство отдельно, а затем найти пересечение их решений.
• Если в системе одно неравенство имеет решение x > a, а другое x > b, то при a > b общим решением будет x > a.
• Если одно неравенство даёт x < a, а другое x > b, то при a > b решением будет промежуток (b; a).
• Если одно неравенство даёт x < a, а другое x > b, и a ≤ b, то система не имеет решений.
• Графически решение системы изображается на координатной прямой: штриховка показывает пересечение промежутков.
• Ответ записывается в виде числового промежутка, например: (2; 5], [3; +∞), или словами «нет решений».

1. Пример 1случай

   Пример из жизни

   Пояснение

   • чтобы купить билет на аттракцион, нужно быть не младше 8 лет и не старше 14 лет. Это система неравенств: x ≥ 8 и x ≤ 14. Решение — промежуток [8
   • 14]
2. Пример 2случай

   Пример из природы

   Пояснение

   • для прорастания семян нужна температура не ниже +5°C и не выше +25°C. Это система: t ≥ 5 и t ≤ 25. Решение — [5
   • 25]
3. Пример 3случай

   Пример из спорта

   Пояснение

   • чтобы участвовать в соревнованиях, нужно пробежать дистанцию не быстрее 12 секунд и не медленнее 15 секунд. Это система: x ≥ 12 и x ≤ 15. Решение — [12
   • 15]

• Системы неравенств используются в экономике для описания допустимых планов производства, когда нужно учесть ограничения по ресурсам.
• В медицине нормальные показатели давления или температуры — это тоже системы неравенств: например, давление должно быть не ниже 90/60 и не выше 140/90.
• Идея пересечения множеств лежит в основе поиска общих друзей в социальных сетях: нужно найти людей, которые есть в списках друзей у обоих пользователей.

• Линейные неравенства с одной переменной
• Числовые промежутки
• Системы уравнений
• Множества и операции над ними