Изображение решения линейного неравенства и их систем на числовой прямой

Научиться изображать множество решений линейного неравенства и системы неравенств на числовой прямой, используя правильные обозначения (точки, штриховку, скобки).

Графическое представление неравенств помогает мгновенно оценивать диапазоны допустимых значений в реальных задачах: от расчета размеров деталей до выбора температурного режима. Это основа для понимания функций, интервалов и решения более сложных математических моделей.

• Решением линейного неравенства с одной переменной является множество чисел, при подстановке которых неравенство становится верным.
• Множество решений линейного неравенства всегда является одним из промежутков на числовой прямой: лучом, открытым лучом, отрезком или интервалом.
• На числовой прямой границы промежутка отмечаются точками: заполненной, если граница входит в решение (нестрогое неравенство), и выколотой, если не входит (строгое неравенство).
• Система неравенств имеет решение только тогда, когда множества решений отдельных неравенств пересекаются (имеют общие точки).
• Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого неравенства системы.
• Если пересечения множеств решений нет, то система неравенств не имеет решений.
• Штриховка на числовой прямой показывает все числа, которые входят в решение неравенства или системы.

Числовая прямая

Прямая, на которой выбрано начало отсчета (0), единичный отрезок и положительное направление. Каждой точке соответствует число.

Линейное неравенство

Неравенство вида ax + b > 0 (или <, ≥, ≤), где a и b — числа, a ≠ 0. Его решение — множество значений x, при которых неравенство верно.

Решение неравенства

Число, при подстановке которого в неравенство вместо переменной получается верное числовое неравенство.

Система неравенств

Несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Решение системы — число, которое является решением каждого неравенства системы.

Пересечение множеств

Множество, состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам. В случае системы неравенств — это общие решения всех неравенств.

Луч

Множество чисел, удовлетворяющих неравенству x ≥ a или x ≤ a. На прямой изображается точкой с границей и штриховкой в одну сторону.

Отрезок

Множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству a ≤ x ≤ b. На прямой изображается двумя заполненными точками и штриховкой между ними.

Интервал

Множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству a < x < b. На прямой изображается двумя выколотыми точками и штриховкой между ними.

• Для строгого неравенства (>, <) граница на числовой прямой обозначается выколотой точкой (светлый кружок), которая не входит в решение.
• Для нестрогого неравенства (≥, ≤) граница обозначается заполненной точкой (темный кружок), которая входит в решение.
• Решение неравенства x > a изображается лучом с началом в точке a (выколотой) и штриховкой вправо; x ≥ a — с заполненной точкой.
• Решение неравенства x < a изображается лучом с началом в точке a (выколотой) и штриховкой влево; x ≤ a — с заполненной точкой.
• Система неравенств решается так: сначала находим решение каждого неравенства, затем изображаем их на одной числовой прямой и ищем пересечение штриховок.
• Если штриховки не пересекаются, то система не имеет решений (ответ: пустое множество).
• Двойное неравенство a < x < b эквивалентно системе неравенств x > a и x < b, его решение — интервал (a; b).

1. Пример 1случай

   Пример

   Пояснение

   • неравенство x ≥ 2
   • На числовой прямой отмечаем точку 2 заполненным кружком и штрихуем вправо — это все числа от 2 до плюс бесконечности
2. Пример 2случай

   Пример

   Пояснение

   • неравенство x < -1
   • Отмечаем точку -1 выколотым кружком и штрихуем влево — это все числа меньше -1
3. Пример 3случай

   Пример

   Пояснение

   • система неравенств x > 1 и x ≤ 4. На прямой отмечаем интервал (1
   • 4] — штриховка от выколотой точки 1 до заполненной точки 4
4. Пример 4случай

   Пример из жизни

   Пояснение

   • чтобы пройти в турникет, рост должен быть не меньше 120 см и не больше 200 см. Это система: x ≥ 120 и x ≤ 200, решение — отрезок [120
   • 200]

• Числовая прямая — это модель всех действительных чисел, и даже иррациональные числа (например, √2) имеют на ней точное место, хотя их нельзя записать конечной десятичной дробью.
• Термин «луч» в математике происходит от латинского radius — «палка, спица», что отражает его форму — бесконечную в одну сторону.
• Идея изображать неравенства на прямой принадлежит Рене Декарту, который ввел координатную ось, а позже математики стали использовать штриховку для наглядности.

• Линейные неравенства с одной переменной
• Числовые промежутки
• Системы линейных неравенств
• Решение уравнений и неравенств с модулем
• Функции и их графики