Контрольная работа по темам "Неравенства. Системы уравнений"

Научиться понимать логику решения неравенств и систем уравнений, чтобы применять её в любой задаче.

Умение решать неравенства и системы уравнений необходимо для описания реальных ситуаций, где есть ограничения (например, бюджет, время, количество) и несколько условий одновременно. Это основа для изучения функций, прогрессий и начал анализа в старших классах.

• Неравенство — это математическое выражение, показывающее, что одно число больше или меньше другого.
• Решение неравенства — это множество всех значений переменной, при которых неравенство становится верным.
• Система уравнений — это несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно.
• Решение системы уравнений — это пара (или несколько пар) чисел, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство.
• Существуют разные методы решения систем: подстановка, сложение и графический способ.
• При решении неравенств важно помнить: при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Числовое неравенство

Выражение вида a > b, a < b, a ≥ b или a ≤ b, где a и b — числа или выражения.

Строгое неравенство

Неравенство со знаками > или <, которое не допускает равенства.

Нестрогое неравенство

Неравенство со знаками ≥ или ≤, которое допускает равенство.

Решение неравенства

Значение переменной, при котором неравенство становится верным числовым неравенством.

Система уравнений

Два или более уравнения, которые рассматриваются вместе, и нужно найти значения переменных, удовлетворяющие всем уравнениям одновременно.

Решение системы уравнений

Пара чисел (x; y), которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

• Свойства неравенств: если a > b, то a + c > b + c; если a > b и c > 0, то ac > bc; если a > b и c < 0, то ac < bc.
• При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Линейное неравенство с одной переменной имеет вид ax + b > 0 (или <, ≥, ≤) и решается приведением к виду x > c или x < c.
• Графический метод решения системы двух линейных уравнений: построить графики уравнений (прямые) и найти точку их пересечения — это и есть решение системы.
• Метод подстановки: выразить одну переменную из одного уравнения и подставить в другое, получая уравнение с одной переменной.
• Метод сложения: сложить (или вычесть) уравнения так, чтобы одна переменная исчезла, и решить полученное уравнение.

1. Пример 1случай
   • Если у тебя есть 500 рублей и ты хочешь купить тетради по 40 рублей, то количество тетрадей x должно удовлетворять неравенству 40x ≤ 500, то есть x ≤ 12,5, значит, можно купить не более 12 тетрадей
2. Пример 2случай
   • Система уравнений может описывать встречу двух друзей: если один идёт со скоростью 5 км/ч, а другой — 4 км/ч, и расстояние между ними 18 км, то время встречи можно найти, решив систему уравнений
3. Пример 3случай

   При планировании бюджета семьи

   Пояснение

   • доходы должны быть больше расходов (неравенство), а также нужно учесть несколько статей расходов (система уравнений)

• Знак неравенства «>» и «<» придумал английский математик Томас Гарриот в 1631 году, но они стали популярны только через столетие.
• Системы уравнений использовались ещё в древнем Вавилоне для решения задач о распределении зерна и налогов.
• Графический метод решения систем уравнений стал возможен после изобретения координатной плоскости Рене Декартом в XVII веке.

• Линейные неравенства с одной переменной
• Системы линейных уравнений с двумя переменными
• Числовые промежутки
• Функции и их графики