Понятие функции

Научиться понимать, что такое функция, как она задаётся и как её распознавать в жизни и в математике.

Функции описывают зависимости в природе, экономике, технике: от скорости движения до роста цен. Понимание функций позволяет прогнозировать, вычислять и моделировать реальные ситуации.

• Функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента) соответствует единственное значение зависимой переменной.
• Аргумент — это независимая переменная, обычно обозначается x.
• Значение функции — это зависимая переменная, обычно обозначается y или f(x).
• Область определения — это все значения, которые может принимать аргумент.
• Область значений — это все значения, которые может принимать функция.
• График функции — это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
• Функцию можно задать формулой, таблицей, графиком или словесным описанием.

Функция

Правило, по которому каждому значению одной переменной (аргументу) ставится в соответствие единственное значение другой переменной (функции).

Аргумент

Независимая переменная, значения которой мы выбираем или задаём (обычно x).

Значение функции

Результат применения правила к выбранному аргументу (обычно y или f(x)).

Область определения

Множество всех допустимых значений аргумента, при которых функция имеет смысл.

Область значений

Множество всех значений, которые функция может принимать при всех допустимых аргументах.

График функции

Множество точек на координатной плоскости, где каждая точка имеет координаты (x; y), причём y — значение функции в точке x.

• Функция обозначается как y = f(x), где f — правило, x — аргумент, y — значение функции.
• Для каждого значения аргумента функция даёт ровно одно значение (это отличает функцию от просто зависимости).
• Область определения может быть ограничена: например, для y = 1/x нельзя брать x = 0.
• График функции можно построить по точкам: выбрать несколько значений x, вычислить y и отметить точки на плоскости.
• Существуют разные способы задания функции: формула, таблица, график, словесное описание.
• Если функция задана формулой, то область определения — все числа, при которых формула имеет смысл (например, знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно).

1. Пример 1случай
   • Зависимость пройденного пути от времени при равномерном движении: s = v·t
   • Здесь t — аргумент, s — функция
2. Пример 2случай
   • Зависимость площади квадрата от длины его стороны: S = a²
   • Здесь a — аргумент, S — функция
3. Пример 3случай

   Зависимость температуры воздуха от времени суток

   Пояснение

   • каждому моменту времени соответствует одно значение температуры (в конкретный момент)
4. Пример 4расчёт

   Таблица умножения

   Решение

   • функция: каждому числу от 1 до 10 ставится в соответствие его произведение на 2 (например
   • y = 2x)

• Слово «функция» происходит от латинского functio — «исполнение», «осуществление». Ввёл его немецкий математик Готфрид Лейбниц в XVII веке.
• Графики функций используются в медицине: например, кардиограмма — это график зависимости электрической активности сердца от времени.
• В повседневной жизни функция — это, например, зависимость стоимости поездки на такси от расстояния: цена = тариф × расстояние.

• Линейная функция и её график
• Функция y = k/x и её график
• Квадратичная функция
• Системы координат