Область определения и множество значений функции

Научиться находить область определения и множество значений функции по её формуле или графику.

В жизни и науке важно знать, при каких условиях работает та или иная зависимость. Например, чтобы рассчитать, сколько времени займёт поездка, нужно знать допустимую скорость (область определения), а чтобы понять, каким может быть результат, — множество значений.

• Функция — это правило, по которому каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной.
• Область определения функции — это все значения, которые может принимать аргумент (обычно x).
• Множество значений функции — это все значения, которые может принимать зависимая переменная (обычно y).
• Область определения и множество значений могут быть как конечными, так и бесконечными множествами чисел.
• Для нахождения области определения нужно исключить значения аргумента, при которых выражение не имеет смысла (например, деление на ноль или корень из отрицательного числа).
• Множество значений удобно определять по графику функции, глядя на проекцию графика на ось y.
• График функции — это множество точек на координатной плоскости, у которых абсциссы — значения аргумента, а ординаты — соответствующие значения функции.

Функция

Зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению одной переменной (аргументу) соответствует ровно одно значение другой переменной (функции).

Аргумент

Независимая переменная, значения которой мы выбираем (обычно обозначается x).

Зависимая переменная

Переменная, значение которой вычисляется по правилу функции (обычно обозначается y).

Область определения функции

Множество всех допустимых значений аргумента, при которых функция имеет смысл.

Множество значений функции

Множество всех значений, которые принимает зависимая переменная при всех допустимых значениях аргумента.

График функции

Множество точек координатной плоскости, где каждая точка имеет координаты (x; y), причём x — из области определения, а y — соответствующее значение функции.

• Область определения обозначается D(f), множество значений — E(f).
• Если функция задана формулой, область определения — все числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю (если есть дробь) или подкоренное выражение отрицательно (если есть корень чётной степени).
• Множество значений можно найти, проанализировав формулу или посмотрев на график: это все значения y, которые достигаются хотя бы одной точкой графика.
• Для линейной функции y = kx + b область определения и множество значений — все действительные числа.
• Для функции y = 1/x область определения — все числа, кроме 0, а множество значений — все числа, кроме 0.
• Для функции y = x² область определения — все числа, а множество значений — все неотрицательные числа (y ≥ 0).

1. Пример 1случай
   • Если функция задаёт зависимость стоимости поездки на такси от расстояния: y = 50 + 20x (где x — километры), то область определения — все неотрицательные числа (расстояние не может быть отрицательным), а множество значений — все числа, начиная с 50 (стоимость не может быть меньше начальной)
2. Пример 2случай
   • Для функции y = √x область определения — только неотрицательные числа (x ≥ 0), потому что из отрицательного числа нельзя извлечь квадратный корень
   • Множество значений — тоже неотрицательные числа
3. Пример 3случай
   • График функции y = x² — парабола
   • Если посмотреть на неё, видно, что y никогда не бывает отрицательным, поэтому множество значений — все числа от 0 до плюс бесконечности

• Термин «функция» ввёл немецкий математик Готфрид Лейбниц в XVII веке, но он использовал его только для геометрических кривых.
• В математике есть функции, область определения которых — пустое множество, например, y = √(-x² - 1) не имеет допустимых значений x.
• Множество значений функции может быть бесконечным, но иногда его можно описать простым неравенством, например, y ≥ 0.

• Функция и её график
• Линейная функция
• Квадратичная функция
• Обратная пропорциональность