Способы задания функций

Научиться понимать и различать основные способы задания функции: аналитический, табличный, графический и словесный.

Умение выбирать удобный способ задания функции помогает в реальной жизни: например, по таблице можно быстро найти значение, по графику — увидеть тенденцию, а по формуле — точно вычислить. В науке и технике разные способы используются для разных задач.

• Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу первого множества (аргументу) соответствует ровно один элемент второго множества (значение функции).
• Способ задания функции — это способ описания этого соответствия, позволяющий для любого значения аргумента найти значение функции.
• Аналитический способ — задание функции с помощью формулы (уравнения), например, y = 2x + 1.
• Табличный способ — задание функции с помощью таблицы, где для некоторых значений аргумента указаны соответствующие значения функции.
• Графический способ — задание функции с помощью графика, который показывает множество всех точек (x; y), где x — аргумент, а y — соответствующее значение функции.
• Словесный способ — описание правила словами, например, «каждому числу поставить в соответствие его квадрат».
• Один и тот же закон зависимости можно задать разными способами, и выбор способа зависит от конкретной задачи.

Функция

Правило, по которому каждому значению одной переменной (аргументу) ставится в соответствие единственное значение другой переменной (функции).

Аргумент

Независимая переменная, значения которой мы выбираем (обычно обозначается x).

Значение функции

Зависимая переменная, которая получается по правилу функции из выбранного аргумента (обычно обозначается y).

Область определения функции

Множество всех значений, которые может принимать аргумент.

Область значений функции

Множество всех значений, которые может принимать функция (y).

Аналитический способ задания функции

Задание функции с помощью формулы, например, y = 3x - 2.

Табличный способ задания функции

Задание функции с помощью таблицы, в которой перечислены значения аргумента и соответствующие им значения функции.

Графический способ задания функции

Задание функции с помощью графика — линии на координатной плоскости, состоящей из точек (x; y), где x — аргумент, y — значение функции.

• Формула y = kx + b задаёт линейную функцию, графиком которой является прямая линия.
• Формула y = x² задаёт квадратичную функцию, графиком которой является парабола.
• График функции — это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
• Табличный способ удобен, когда нужно быстро получить значение функции для конкретных аргументов, но он не показывает закономерность для всех значений.
• Графический способ наглядно показывает, как меняется функция, но для точных вычислений он менее удобен, чем формула.
• Словесный способ часто используется в задачах с описанием реальных процессов, например, «стоимость проезда зависит от расстояния».

1. Пример 1расчёт

   Аналитический способ

   Решение

   • y = 2x + 3. Для любого x можно вычислить y, например, при x = 1, y = 5
2. Пример 2случай

   Табличный способ

   Пояснение

   • таблица зависимости роста ребёнка от возраста
   • Для каждого возраста указан средний рост
3. Пример 3случай

   Графический способ

   Пояснение

   • график изменения температуры воздуха в течение суток — по нему видно, когда было холоднее, а когда теплее
4. Пример 4расчёт

   Словесный способ

   Решение

   • «Каждому натуральному числу поставим в соответствие его квадрат» — это правило можно записать формулой y = x²

• Один и тот же закон зависимости можно задать разными способами: например, зависимость между температурой в градусах Цельсия и Фаренгейта можно задать формулой, таблицей или графиком.
• График функции может быть не только линией, но и состоять из отдельных точек, например, если функция задана только для целых значений аргумента.
• В древности функции задавали в основном словесно или таблично, а графики появились только в XVII веке благодаря Рене Декарту и Пьеру Ферма.

• Функция и её график
• Линейная функция
• Квадратичная функция
• Координатная плоскость