График функции

Научиться понимать, что такое график функции, как его строить по точкам и как извлекать информацию о свойствах функции из её графика.

Графики окружают нас повсюду: от графиков температуры и курса валют до графиков движения транспорта. Умение читать графики помогает анализировать информацию, прогнозировать изменения и принимать решения.

• График функции — это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
• График даёт наглядное представление о том, как меняется зависимая переменная при изменении независимой.
• Для построения графика функции обычно находят несколько точек, вычисляя значения функции при выбранных значениях аргумента.
• Каждая точка графика имеет координаты (x; y), где x — аргумент, y — значение функции.
• График функции может быть прямой линией, кривой, ломаной или состоять из отдельных точек.
• По графику можно определить область определения и область значений функции, промежутки возрастания и убывания, нули функции.
• Не всякое множество точек на плоскости является графиком функции: для каждого x должно быть не более одного y.

График функции

Множество всех точек координатной плоскости, у которых абсциссы — значения аргумента, а ординаты — соответствующие значения функции.

Аргумент

Независимая переменная, обычно обозначается x, значения которой мы выбираем.

Значение функции

Зависимая переменная, обычно обозначается y, вычисляется по формуле функции при заданном x.

Координатная плоскость

Плоскость, на которой заданы две перпендикулярные оси — горизонтальная (ось абсцисс) и вертикальная (ось ординат).

Абсцисса точки

Координата точки по горизонтальной оси (ось x).

Ордината точки

Координата точки по вертикальной оси (ось y).

Область определения функции

Все значения аргумента, при которых функция имеет смысл.

Область значений функции

Все значения, которые может принимать функция при изменении аргумента в области определения.

• График функции строится на координатной плоскости: по горизонтали откладывают аргумент (x), по вертикали — значение функции (y).
• Чтобы построить график, нужно: 1) выбрать несколько значений x из области определения; 2) вычислить соответствующие y; 3) отметить точки с координатами (x; y) на плоскости; 4) соединить их плавной линией (если функция непрерывна).
• Точка принадлежит графику функции y = f(x), если её координаты удовлетворяют уравнению: y = f(x).
• График линейной функции y = kx + b — прямая линия. Для её построения достаточно двух точек.
• График функции y = x² — парабола, симметричная относительно оси y.
• Если график функции пересекает ось x, то в этих точках значение функции равно нулю (нули функции).
• По графику можно определить, возрастает или убывает функция на промежутке: если при движении слева направо график идёт вверх — функция возрастает, вниз — убывает.

1. Пример 1случай

   Пример

   Пояснение

   • график температуры воздуха в течение суток
   • По оси x — время (часы), по оси y — температура (°C)
   • По графику видно, когда было холоднее всего (ночью) и теплее всего (днём)
2. Пример 2случай

   Пример

   Пояснение

   • график роста ребёнка
   • По оси x — возраст (годы), по оси y — рост (см)
   • График показывает, как быстро растёт человек в разные периоды жизни
3. Пример 3случай

   Пример

   Пояснение

   • график движения автомобиля
   • По оси x — время, по оси y — пройденный путь
   • Наклон графика показывает скорость: чем круче линия, тем больше скорость
4. Пример 4расчёт

   Пример

   Решение

   • график функции y = 2x + 1 — прямая линия. Если x = 0, то y = 1
   • если x = 2, то y = 5. Соединив точки (0;1) и (2;5), получим график

• Графики используются в медицине для отслеживания температуры пациента — это наглядный пример функции, где аргумент — время, а значение — температура.
• Понятие графика функции ввёл французский математик Рене Декарт в XVII веке, поэтому координатная плоскость называется декартовой.
• График функции может быть не только плоским: в физике графики зависимости пути от времени — это тоже графики функций, но часто их строят в трёхмерном пространстве.

• Линейная функция и её график
• Функция y = x² и её график
• Координатная плоскость
• Понятие функции