Чтение и построение графиков функций

Научиться строить графики функций по формуле и извлекать информацию о функции из её графика.

Графики окружают нас повсюду: от графиков температуры и курса валют до графиков движения транспорта. Умение их читать помогает анализировать информацию, прогнозировать изменения и принимать решения.

• График функции — это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
• Каждая точка графика соответствует паре (x; y), где y = f(x).
• Чтобы построить график функции, нужно найти несколько точек, принадлежащих графику, и соединить их плавной линией (или прямой, если функция линейная).
• По графику можно определить область определения и область значений функции, нули функции, промежутки возрастания и убывания.
• Точка пересечения графика с осью Ox имеет ординату, равную нулю (y=0), а с осью Oy — абсциссу, равную нулю (x=0).
• График линейной функции y = kx + b — прямая линия, для построения которой достаточно двух точек.
• График функции y = k/x — гипербола, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.

График функции

Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Аргумент

Независимая переменная (обычно x), значение которой мы подставляем в формулу функции.

Значение функции

Зависимая переменная (обычно y), которая получается после подстановки аргумента в формулу функции.

Область определения функции

Все значения, которые может принимать аргумент x.

Область значений функции

Все значения, которые может принимать функция y.

Нуль функции

Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю (точка пересечения графика с осью Ox).

• Чтобы построить график функции, нужно: 1) выбрать несколько значений аргумента x; 2) вычислить соответствующие значения y; 3) отметить точки на координатной плоскости; 4) соединить их плавной линией.
• Точка пересечения графика с осью Ox: y = 0, находим x. Точка пересечения с осью Oy: x = 0, находим y.
• График линейной функции y = kx + b — прямая, для построения которой достаточно двух точек.
• График функции y = k/x — гипербола, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат; при k>0 ветви в I и III четвертях, при k<0 — во II и IV.
• Если функция возрастает на промежутке, то при увеличении x значения y увеличиваются (график идёт вверх). Если убывает — значения y уменьшаются (график идёт вниз).

1. Пример 1расчёт

   Пример

   Решение

   • функция y = 2x + 1. Если x = 0, то y = 1
   • если x = 1, то y = 3. Отмечаем точки (0;1) и (1;3) и проводим через них прямую — это график функции
2. Пример 2расчёт

   Пример

   Решение

   • функция y = 6/x. Если x = 1, то y = 6
   • если x = 2, то y = 3
   • если x = 3, то y = 2. Отмечаем точки и соединяем плавной линией — получаем гиперболу
3. Пример 3случай

   Пример

   Пояснение

   • график температуры воздуха в течение дня — это график функции, где аргумент — время, а значение — температура
   • По нему видно, когда было холоднее, а когда теплее

• Графики функций используются в медицине для построения кардиограмм — графиков сердечных сокращений.
• Движение планет вокруг Солнца можно описать с помощью графиков — они имеют форму эллипсов, которые являются графиками некоторых функций.
• В экономике графики спроса и предложения помогают определить равновесную цену товара на рынке.

• Линейная функция и её график
• Функция y = k/x и её график
• Квадратичная функция и её график (в 9 классе)