Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики

Научиться понимать, как по формуле определить вид пропорциональности, и строить графики прямой и обратной пропорциональности.

Прямая и обратная пропорциональность — это простейшие модели реальных зависимостей: от цены и количества товара до скорости и времени в пути. Понимание их графиков помогает анализировать данные, прогнозировать результаты и решать практические задачи в физике, экономике и повседневной жизни.

• Прямая пропорциональность — это зависимость, при которой одна величина изменяется во столько же раз, во сколько и другая.
• Формула прямой пропорциональности: y = kx, где k — коэффициент пропорциональности (k ≠ 0).
• График прямой пропорциональности — прямая линия, проходящая через начало координат.
• Обратная пропорциональность — это зависимость, при которой увеличение одной величины вызывает уменьшение другой во столько же раз.
• Формула обратной пропорциональности: y = k/x, где k — коэффициент пропорциональности (k ≠ 0).
• График обратной пропорциональности — гипербола, состоящая из двух ветвей.
• Если k > 0, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если k < 0 — во II и IV.
• Прямая и обратная пропорциональности — частные случаи линейной и дробно-рациональной функций соответственно.

Прямая пропорциональная зависимость

Связь между величинами, при которой отношение двух соответствующих значений всегда постоянно (равно коэффициенту k).

Обратная пропорциональная зависимость

Связь между величинами, при которой произведение соответствующих значений всегда постоянно (равно коэффициенту k).

Коэффициент пропорциональности

Постоянное число k, показывающее, во сколько раз одна величина больше другой (для прямой пропорциональности) или как связано их произведение (для обратной).

Гипербола

График обратной пропорциональности, состоящий из двух симметричных ветвей, которые стремятся к осям координат, но никогда их не пересекают.

Асимптота

Прямая, к которой график функции неограниченно приближается, но не пересекает (для гиперболы — это оси координат).

• Формула прямой пропорциональности: y = kx. Если k > 0, прямая проходит через I и III четверти; если k < 0 — через II и IV.
• Формула обратной пропорциональности: y = k/x. Область определения: x ≠ 0.
• График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат (0;0).
• График обратной пропорциональности не пересекает оси координат, они являются его асимптотами.
• Для прямой пропорциональности: если x увеличивается в n раз, то y тоже увеличивается в n раз.
• Для обратной пропорциональности: если x увеличивается в n раз, то y уменьшается в n раз.

1. Пример 1расчёт
   • Если 1 кг яблок стоит 80 рублей
   • то стоимость покупки прямо пропорциональна массе: y = 80x, где x — масса в кг, y — стоимость в рублях
2. Пример 2расчёт
   • Если автомобиль едет со скоростью 60 км/ч
   • то время в пути обратно пропорционально скорости: t = 120/v, где 120 — расстояние в км, v — скорость
3. Пример 3случай
   • При строительстве забора количество рабочих обратно пропорционально времени выполнения работы: чем больше рабочих, тем меньше времени нужно

• Гипербола — это не только график функции, но и геометрическое место точек, которое можно увидеть в форме некоторых архитектурных сооружений, например, в башне Шухова в Москве.
• Закон Ома в физике (I = U/R) — это пример обратной пропорциональности: при постоянном напряжении сила тока обратно пропорциональна сопротивлению.
• В древности гиперболу изучали греческие математики, но её название происходит от греческого слова 'hyperbole', что означает 'избыток'.

• Линейная функция и её график
• Функция y = k/x и её свойства
• Рациональные уравнения
• Пропорции и отношения