Гипербола

Научиться понимать, что такое гипербола, как она выглядит и какие свойства имеет как график обратной пропорциональности.

Гипербола встречается в физике (закон Бойля-Мариотта), экономике (спрос и цена), биологии (рост популяции) и технике (форма некоторых антенн). Понимание гиперболы помогает анализировать зависимости, где одна величина обратно пропорциональна другой.

• Гипербола — это график функции y = k/x, где k ≠ 0.
• Обратная пропорциональность описывает связь величин, при которой увеличение одной во столько же раз уменьшает другую.
• Гипербола состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей четвертях, если k > 0, и во второй и четвертой, если k < 0.
• Ветви гиперболы бесконечно приближаются к осям координат, но никогда их не пересекают.
• Оси координат являются асимптотами гиперболы.
• Гипербола симметрична относительно начала координат.
• Коэффициент k определяет, насколько далеко ветви гиперболы расположены от начала координат: чем больше |k|, тем дальше ветви.
• Гипербола — это пример функции, которая не является ни четной, ни нечетной в привычном смысле, но обладает центральной симметрией.

Обратная пропорциональность

Зависимость, при которой произведение двух величин постоянно: y = k/x, где k — постоянное число (k ≠ 0).

Гипербола

График функции y = k/x, состоящий из двух симметричных ветвей, которые стремятся к осям координат.

Ветви гиперболы

Две отдельные кривые, составляющие гиперболу; каждая ветвь находится в одной из четвертей координатной плоскости.

Асимптота

Прямая, к которой график функции бесконечно приближается, но никогда не пересекает. Для гиперболы асимптотами являются оси координат.

Коэффициент k

Число в формуле y = k/x, которое определяет, в каких четвертях расположены ветви гиперболы и как далеко они отстоят от начала координат.

• Формула гиперболы: y = k/x, где k ≠ 0. Если k > 0, ветви в I и III четвертях; если k < 0 — во II и IV.
• Оси координат (x = 0 и y = 0) являются асимптотами гиперболы: ветви к ним приближаются, но не пересекают.
• Гипербола симметрична относительно начала координат: если точка (x; y) принадлежит графику, то точка (-x; -y) тоже принадлежит.
• Чем больше |k|, тем дальше ветви гиперболы от начала координат; при малых |k| ветви ближе к осям.
• Точка (1; k) всегда лежит на гиперболе, так как при x = 1, y = k.
• Гипербола не пересекает оси координат, так как x ≠ 0 и y ≠ 0 (при k ≠ 0).

1. Пример 1расчёт
   • Если ехать из пункта А в пункт Б со скоростью v
   • то время в пути t обратно пропорционально скорости: t = S/v, где S — расстояние. График зависимости t от v — гипербола
2. Пример 2расчёт
   • При покупке товара по одной и той же цене за штуку, количество товара, которое можно купить на фиксированную сумму
   • обратно пропорционально цене: n = C/p. График — гипербола
3. Пример 3случай

   В природе

   Пояснение

   • чем больше животных в стае, тем меньше пищи приходится на каждое, если общий запас еды постоянен
   • Зависимость — обратная пропорциональность

• Гипербола — это не только график функции, но и геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух фокусов постоянна. Это свойство используется в навигации (гиперболическая радионавигация).
• Закон Бойля-Мариотта в физике: при постоянной температуре давление газа обратно пропорционально его объему — график этой зависимости — гипербола.
• Форма некоторых архитектурных сооружений, например, гиперболоидных башен (Шуховская башня в Москве), основана на гиперболе — это придает им прочность и красоту.

• Функция y = k/x и её график (урок 90)
• Квадратичная функция y = x² (урок 92)
• Степенные функции (урок 93)
• Преобразование графиков функций (урок 94)