Математика · 8 класс · Математика ФГОС · урок 93 · только теория
График функции y = x²
Тема знакомит с графиком квадратичной функции y = x² — параболой. Мы узнаем её свойства, форму и научимся строить этот график по точкам, понимая его симметрию и ключевые точки.
Чему учимся понимать
Научиться строить график функции y = x² и понимать его основные свойства.
Зачем это нужно
Парабола — одна из самых распространённых кривых в природе и технике: по ней движутся тела в поле тяжести, её форму имеют антенны и фары, а понимание её свойств необходимо для изучения квадратных уравнений и неравенств.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Графиком функции y = x² является парабола.
- Парабола симметрична относительно оси OY.
- Вершина параболы находится в начале координат — точке (0; 0).
- Ветви параболы направлены вверх.
- Функция y = x² является чётной: f(-x) = f(x).
- Для построения графика достаточно вычислить значения функции в нескольких точках и использовать симметрию.
- Область определения функции — все действительные числа.
- Область значений функции — все неотрицательные числа (y ≥ 0).
Определения
- Парабола
- Кривая, которая является графиком квадратичной функции вида y = ax² + bx + c. Для функции y = x² это симметричная U-образная линия.
- Вершина параболы
- Точка, в которой парабола достигает минимума (если ветви вверх) или максимума (если ветви вниз). Для y = x² вершина — точка (0; 0).
- Ось симметрии
- Прямая, которая делит параболу на две зеркально равные части. Для y = x² это ось OY (прямая x = 0).
- Ветви параболы
- Две части параболы, расходящиеся от вершины. Для y = x² они направлены вверх.
- Чётная функция
- Функция, для которой выполняется условие f(-x) = f(x). График чётной функции симметричен относительно оси OY.
Ключевые факты и правила
- График функции y = x² — парабола с вершиной в точке (0; 0).
- Ось симметрии параболы y = x² — ось OY (уравнение x = 0).
- Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при x² положителен.
- Функция y = x² чётная: график симметричен относительно оси OY.
- Область определения: x — любое действительное число.
- Область значений: y ≥ 0 (все неотрицательные числа).
- Точка (0; 0) — единственная точка пересечения графика с осями координат.
- Для построения параболы удобно использовать таблицу значений: например, для x = -2, -1, 0, 1, 2 получаем y = 4, 1, 0, 1, 4.
Теория
Вспомнить, что такое функция и как строить график по точкам.
Составить таблицу значений для y = x² при нескольких положительных и отрицательных x.
Отметить точки на координатной плоскости.
Заметить симметрию точек относительно оси OY.
Соединить точки плавной кривой — получится парабола.
Изучить свойства: вершина, ось симметрии, направление ветвей, область значений.
Примеры
- Пример 1расчёт
- Если подбросить мяч вертикально вверх, его высота над землёй меняется по закону
- близкому к y = x² (с учётом времени), и график зависимости высоты от времени — парабола
- Пример 2случай
- Струя воды из фонтана описывает параболическую траекторию
- Пример 3случай
Форма зеркала в автомобильной фаре
Пояснение
- параболическая, чтобы лучи света шли параллельным пучком
Интересно знать
- Форма параболы используется в конструкции спутниковых антенн: сигнал, приходящий параллельно оси, отражается в фокус — точку, где расположен приёмник.
- Траектория полёта мяча, брошенного под углом к горизонту (без учёта сопротивления воздуха), является параболой.
- Арки мостов и купола зданий часто имеют форму параболы, так как она равномерно распределяет нагрузку.
Связанные темы
- Квадратичная функция y = ax² + bx + c
- Квадратные уравнения
- Квадратные неравенства
- Свойства функций