Функции y =x², y = x³, y = ٧x, y = |х|; графическое решение уравнений и систем уравнений

Научиться строить графики y = x², y = x³, y = √x, y = |x| и понимать, как с их помощью находить решения уравнений и систем.

Графики этих функций — основа для изучения более сложных зависимостей в алгебре и физике. Умение быстро представить функцию графически помогает анализировать процессы, например, движение, рост, изменение величин, и решать уравнения без громоздких вычислений.

• График функции y = x² — парабола, симметричная относительно оси OY, с вершиной в начале координат.
• График функции y = x³ — кубическая парабола, проходящая через начало координат, симметричная относительно начала координат.
• График функции y = √x — ветвь параболы, лежащая в первой координатной четверти, начинается в точке (0;0).
• График функции y = |x| — угол, состоящий из двух лучей, выходящих из начала координат, симметричный относительно оси OY.
• Чтобы графически решить уравнение f(x) = g(x), нужно построить графики функций y = f(x) и y = g(x) и найти абсциссы их точек пересечения.
• Чтобы графически решить систему уравнений, нужно построить графики обоих уравнений и найти координаты точек их пересечения.
• Графический метод не всегда даёт точное решение, но позволяет оценить количество корней и их приблизительные значения.

Функция

Правило, по которому каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y.

График функции

Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям x, а ординаты — соответствующим значениям y.

Квадратичная функция y = x²

Функция, которая каждому числу x ставит в соответствие его квадрат x². Её график — парабола.

Кубическая функция y = x³

Функция, которая каждому числу x ставит в соответствие его куб x³. Её график — кубическая парабола.

Функция квадратного корня y = √x

Функция, которая каждому неотрицательному числу x ставит в соответствие его арифметический квадратный корень √x. Область определения: x ≥ 0.

Модуль числа

Расстояние от числа до нуля на числовой прямой. Модуль неотрицательного числа равен самому числу, модуль отрицательного — противоположному числу.

Функция модуля y = |x|

Функция, которая каждому числу x ставит в соответствие его модуль |x|. График состоит из двух лучей, выходящих из начала координат.

• График y = x² — парабола с вершиной в точке (0;0), ветви направлены вверх. Область определения — все числа, область значений — y ≥ 0.
• График y = x³ — кубическая парабола, проходит через точки (-2;-8), (-1;-1), (0;0), (1;1), (2;8). Область определения и значений — все числа.
• График y = √x — возрастающая функция, определена только для x ≥ 0. Значения y также неотрицательны.
• График y = |x| совпадает с прямой y = x для x ≥ 0 и с прямой y = -x для x < 0. В точке x=0 — излом.
• Для графического решения уравнения f(x) = g(x) строят графики y = f(x) и y = g(x) в одной системе координат; корни — абсциссы точек пересечения.
• Для графического решения системы уравнений строят графики обоих уравнений; решения — координаты точек пересечения.
• Если графики не пересекаются, уравнение или система не имеют решений.
• Графический метод часто даёт приближённые значения, поэтому для точных ответов используют аналитические методы.

1. Пример 1расчёт
   • Траектория мяча, брошенного под углом к горизонту
   • приближённо описывается параболой y = -ax² + bx + c (частный случай y = x²)
2. Пример 2расчёт

   Зависимость объёма куба от длины его ребра

   Решение

   • кубическая функция V = a³
   • график которой похож на y = x³
3. Пример 3расчёт

   Зависимость стороны квадрата от его площади

   Решение

   • функция квадратного корня: a = √S
4. Пример 4случай
   • Модуль числа используется для описания расстояния: расстояние между точками на координатной прямой равно |x₁ - x₂|

• Форма параболы y = x² используется в конструкции прожекторов и автомобильных фар: если поместить источник света в фокус параболы, лучи отразятся параллельным пучком.
• График кубической функции y = x³ имеет точку перегиба в начале координат — это место, где кривая меняет направление изгиба.
• Функция y = |x| — пример кусочно-заданной функции, её график напоминает латинскую букву V.
• График y = √x — это половина параболы y = x², повёрнутой на 90 градусов.

• Квадратные уравнения
• Квадратные корни
• Линейная функция и её график
• Системы линейных уравнений
• Свойства степеней