Рациональные числа, иррациональные числа, конечные и бесконечные десятичные дроби

Научиться отличать рациональные числа от иррациональных, понимать связь между обыкновенной дробью и десятичной, а также осознать, что бесконечная непериодическая дробь — это и есть иррациональное число.

Понимание рациональных и иррациональных чисел нужно не только для сдачи экзаменов, но и для реальной жизни: например, при измерениях (длина окружности, диагональ квадрата), в инженерии, физике и даже в музыке (частоты звуков). Это помогает осознать, что не всё в мире можно точно измерить целыми или дробными единицами.

• Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби m/n, где m — целое, n — натуральное.
• Любое рациональное число можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
• Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби; его десятичная запись бесконечна и непериодична.
• Конечная десятичная дробь — это дробь, у которой после запятой стоит конечное число цифр, например, 0,25.
• Бесконечная периодическая дробь — это дробь, у которой после запятой одна или несколько цифр повторяются бесконечно, например, 0,333... = 0,(3).
• Иррациональные числа, такие как √2 или π, имеют бесконечную непериодическую десятичную запись.
• Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел.

Рациональное число

Число, которое можно записать в виде дроби m/n, где m — целое, а n — натуральное число. Например, 3, -1/2, 0, 7, 0,25 — все они рациональные.

Иррациональное число

Число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Его десятичная запись бесконечна и не повторяется. Например, √2 ≈ 1,41421356... или π ≈ 3,14159265...

Конечная десятичная дробь

Десятичная дробь, у которой после запятой стоит конечное количество цифр. Например, 0,5; 3,14; 12,007.

Бесконечная периодическая десятичная дробь

Десятичная дробь, в записи которой после запятой одна или несколько цифр повторяются бесконечно. Повторяющуюся группу цифр называют периодом и записывают в скобках. Например, 0,666... = 0,(6); 1,272727... = 1,(27).

Бесконечная непериодическая десятичная дробь

Десятичная дробь, в записи которой после запятой цифры не образуют повторяющейся группы. Такая дробь не может быть рациональным числом. Например, 0,101001000100001... (где после каждой единицы добавляется ещё один ноль).

Период дроби

Группа цифр, которая бесконечно повторяется в записи периодической десятичной дроби. Например, в дроби 0,(45) период — 45.

• Любое рациональное число можно перевести в десятичную дробь, разделив числитель на знаменатель. Если деление заканчивается, получается конечная дробь, если нет — бесконечная периодическая.
• Если в обыкновенной дроби знаменатель (после сокращения) имеет только простые множители 2 и 5, то десятичная дробь будет конечной. Например, 1/4 = 0,25, 3/8 = 0,375.
• Если знаменатель обыкновенной дроби (после сокращения) содержит другие простые множители, кроме 2 и 5, то десятичная дробь будет бесконечной периодической. Например, 1/3 = 0,(3), 2/7 = 0,(285714).
• Иррациональные числа не могут быть точно записаны в виде десятичной дроби — только приближённо. Например, √2 ≈ 1,41421356237...
• Число π — иррациональное, его десятичная запись бесконечна и непериодична: 3,14159265358979323846...
• Квадратный корень из натурального числа, не являющегося точным квадратом, — иррациональное число. Например, √2, √3, √5 — иррациональны, а √4 = 2 — рационально.

1. Пример 1случай

   Число 0,5

   Пояснение

   • рациональное, потому что его можно записать как 1/2
   • Это конечная десятичная дробь
2. Пример 2случай

   Число 1/3 = 0,333...

   Пояснение

   • рациональное, но его десятичная запись бесконечна и периодична (период 3)
3. Пример 3случай

   Длина диагонали квадрата со стороной 1 равна √2 ≈ 1,41421356...

   Пояснение

   • это иррациональное число, его нельзя точно выразить дробью
4. Пример 4случай

   Число 0,101001000100001... (где после каждой единицы добавляется ещё один ноль)

   Пояснение

   • иррациональное, так как в его записи нет периода
5. Пример 5случай

   При измерении длины окружности

   Пояснение

   • если диаметр равен 1, то длина окружности равна π ≈ 3,14159... — иррациональное число, поэтому точное значение невозможно записать в виде конечной или периодической дроби

• Древнегреческий математик Гиппас из Метапонта, по легенде, был наказан богами за то, что открыл существование иррациональных чисел (например, √2), так как это противоречило учению пифагорейцев о том, что всё в мире можно выразить целыми числами или их отношениями.
• В десятичной записи числа π не обнаружено повторяющихся последовательностей — она бесконечна и непериодична. На сегодняшний день вычислены триллионы знаков после запятой, но закономерности не найдено.
• Любая бесконечная периодическая десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной дроби. Например, 0,(9) = 1 — это удивительный факт, который часто вызывает споры.

• Действительные числа и координатная прямая
• Квадратные корни
• Степени с целым показателем
• Приближённые вычисления