Множество действительных чисел; действительные числа как бесконечные десятичные дроби

Научиться понимать, что такое действительные числа, как они устроены и почему их можно записывать в виде бесконечных десятичных дробей.

Действительные числа — это основа всей математики и её приложений: от измерения длин и площадей до расчётов в физике, инженерии и экономике. Понимание их структуры помогает осознанно работать с числами, решать уравнения и понимать, почему, например, корень из двух нельзя точно записать конечной дробью.

• Множество действительных чисел объединяет все рациональные и иррациональные числа.
• Каждое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.
• Рациональные числа — это числа, которые можно записать в виде дроби p/q, где p и q — целые, q ≠ 0.
• Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби p/q; их десятичная запись бесконечна и непериодична.
• Десятичная запись рационального числа либо конечна, либо бесконечна периодична.
• Десятичная запись иррационального числа бесконечна и непериодична.
• Действительные числа заполняют всю числовую прямую без пропусков.

Действительное число

Любое число, которое можно изобразить точкой на числовой прямой. Это все рациональные и иррациональные числа вместе.

Рациональное число

Число, которое можно записать в виде обыкновенной дроби a/b, где a и b — целые числа, и b не равно нулю. Примеры: 3, -1/2, 0, 7.25.

Иррациональное число

Число, которое нельзя представить в виде дроби a/b с целыми a и b. Его десятичная запись бесконечна и не имеет периода. Примеры: √2, π, e.

Бесконечная десятичная дробь

Запись числа в виде десятичной дроби, в которой после запятой стоит бесконечно много цифр. Например, 0.333... или 1.41421356...

Периодическая дробь

Бесконечная десятичная дробь, в которой начиная с некоторого места повторяется одна и та же группа цифр (период). Например, 0.333... = 0.(3), 2.145145... = 2.(145).

Непериодическая дробь

Бесконечная десятичная дробь, в которой нет повторяющейся группы цифр. Например, 0.101001000100001... — непериодическая.

• Множество действительных чисел обозначается буквой R (от латинского realis — вещественный).
• Любое рациональное число можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Например, 1/4 = 0.25 (конечная), 1/3 = 0.333... = 0.(3) (периодическая).
• Иррациональное число нельзя записать в виде конечной или периодической дроби; его десятичная запись бесконечна и непериодична. Например, √2 = 1.414213562373095...
• Число π (пи) — иррациональное, его десятичная запись начинается как 3.141592653589793... и не имеет периода.
• Каждое действительное число соответствует единственной точке на числовой прямой, и наоборот — каждая точка числовой прямой соответствует некоторому действительному числу.
• Множество действительных чисел включает в себя все натуральные, целые и рациональные числа, а также иррациональные числа.

1. Пример 1случай

   Число 0.5

   Пояснение

   • рациональное, потому что его можно записать как 1/2
   • В виде десятичной дроби оно конечно
2. Пример 2случай

   Число 0.333... (бесконечная периодическая дробь)

   Пояснение

   • рациональное, так как равно 1/3
3. Пример 3случай

   Число √2

   Пояснение

   • иррациональное
   • Его десятичная запись 1.414213562... не имеет периода, и его нельзя точно записать в виде дроби
4. Пример 4случай

   Длина окружности равна 2πR. Если R = 1, то длина окружности равна 2π ≈ 6.283185307...

   Пояснение

   • это иррациональное число, поэтому точное значение длины выражается только через π
5. Пример 5случай

   На числовой прямой число -3, 0, 1/2, √2, π

   Пояснение

   • все они являются действительными числами, и каждому соответствует своя точка

• Число π известно более 4000 лет, но только в 18 веке было доказано, что оно иррационально. Его десятичная запись вычислена до триллионов знаков, но периода так и не найдено.
• Древнегреческий математик Пифагор и его ученики верили, что все числа рациональны, но открытие иррациональности √2 (диагональ квадрата со стороной 1) разрушило эту веру. Легенда гласит, что это открытие держали в тайне.
• Между любыми двумя различными действительными числами находится бесконечно много других действительных чисел. Например, между 0 и 1 есть 0.5, 0.25, 0.125 и так далее — их бесконечно много.

• Рациональные числа и действия с ними
• Иррациональные числа и квадратные корни
• Числовые промежутки и неравенства
• Функции и их графики (числовая прямая)