Взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой

Научиться понимать, почему между числами и точками на прямой есть точное соответствие, и как это связано с понятием действительного числа.

Это соответствие лежит в основе всего математического анализа: позволяет изображать числа точками, решать уравнения графически, понимать непрерывность числовой прямой. В жизни — это любая шкала: термометр, линейка, спидометр.

• Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой.
• Каждая точка координатной прямой имеет единственную координату — действительное число.
• Это соответствие называется взаимно однозначным (биекцией).
• Действительные числа заполняют всю прямую без «дырок» — это свойство непрерывности.
• Рациональные числа тоже соответствуют точкам, но не всем: остаются «промежутки», заполняемые иррациональными числами.
• Координата точки — это число, показывающее расстояние от начала отсчета с учетом направления.
• Взаимно однозначное соответствие позволяет переносить свойства чисел на геометрические объекты и наоборот.

Координатная прямая

Прямая, на которой выбраны начало отсчета (точка 0), положительное направление (обычно вправо) и единичный отрезок.

Координата точки

Число, которое ставится в соответствие точке на координатной прямой; показывает, на каком расстоянии от начала отсчета находится точка и в каком направлении.

Взаимно однозначное соответствие

Соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого, и наоборот.

Действительное число

Число, которое можно представить в виде бесконечной десятичной дроби (конечной или бесконечной, периодической или непериодической). Включает рациональные и иррациональные числа.

• Каждому действительному числу x соответствует единственная точка M(x) на координатной прямой.
• Каждая точка M на координатной прямой имеет единственную координату x — действительное число.
• Множество действительных чисел R и множество точек координатной прямой равномощны (имеют одинаковую мощность континуума).
• Если a < b, то точка с координатой a лежит левее точки с координатой b на координатной прямой.
• Расстояние между точками с координатами a и b равно |a - b|.
• Иррациональные числа (например, √2, π) также имеют свои точки на прямой, что показывает непрерывность числовой оси.

1. Пример 1случай

   Термометр

   Пояснение

   • каждому значению температуры (например, +20°C) соответствует определенная высота столбика ртути, и наоборот
2. Пример 2случай

   Линейка

   Пояснение

   • каждому делению (числу сантиметров) соответствует точка на шкале, и каждая точка шкалы имеет свою отметку
3. Пример 3случай
   • На координатной прямой число √2 ≈ 1,414... изображается точкой, которая находится между 1 и 2, но не совпадает ни с одной рациональной точкой

• Древнегреческий математик Пифагор считал, что все числа рациональны, но открытие иррациональности √2 (диагональ квадрата) разрушило эту идею и показало, что на прямой есть точки, не соответствующие рациональным числам.
• Термин «действительные числа» (real numbers) ввел Рене Декарт в XVII веке, чтобы отличать их от мнимых (комплексных) чисел.
• Мощность множества точек на любом отрезке прямой такая же, как и на всей прямой — это удивительный факт теории множеств, открытый Георгом Кантором.

• Числовые промежутки
• Модуль числа
• Функции и их графики
• Неравенства с одной переменной