Сравнение действительных чисел, арифметические действия с действительными числами

Научиться сравнивать действительные числа и выполнять с ними арифметические действия, понимая их свойства и особенности.

Действительные числа — это все числа, которые мы используем в реальной жизни: от измерения длины до расчёта процентов. Понимание их сравнения и действий с ними нужно для решения уравнений, неравенств, задач по геометрии и физике, а также для работы с приближёнными значениями.

• Действительные числа включают все рациональные и иррациональные числа, их можно изобразить точками на числовой прямой.
• Сравнение действительных чисел основано на их расположении на числовой прямой: число правее — больше.
• Арифметические действия с действительными числами подчиняются тем же законам, что и с рациональными, но требуют аккуратности с иррациональными.
• Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби p/q, но их можно приближённо записать десятичной дробью.
• При сложении и умножении действительных чисел выполняются переместительный, сочетательный и распределительный законы.
• Модуль действительного числа — это расстояние от точки до начала отсчёта, он всегда неотрицателен.
• Для сравнения иррациональных чисел часто используют их приближённые значения или возведение в квадрат (если числа положительные).

Действительное число

Число, которое можно изобразить точкой на числовой прямой; это все рациональные и иррациональные числа.

Рациональное число

Число, которое можно записать в виде дроби p/q, где p и q — целые числа, q ≠ 0.

Иррациональное число

Число, которое нельзя представить в виде дроби p/q; его десятичная запись бесконечна и непериодична (например, √2, π).

Числовая прямая

Прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и направление; каждая точка соответствует действительному числу.

Модуль числа

Расстояние от точки, изображающей число, до начала отсчёта; обозначается |a|, всегда ≥ 0.

• Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби: рациональное — периодической, иррациональное — непериодической.
• Для сравнения двух положительных чисел a и b: если a² > b², то a > b (при a, b > 0).
• При сложении и умножении действительных чисел выполняются законы: a + b = b + a, a·b = b·a, (a + b) + c = a + (b + c), (a·b)·c = a·(b·c), a·(b + c) = a·b + a·c.
• Модуль числа: |a| = a, если a ≥ 0, и |a| = -a, если a < 0.
• Сумма и произведение двух рациональных чисел — рациональное число; сумма рационального и иррационального — иррациональное (кроме случая, когда рациональное равно 0).
• Произведение рационального (не равного 0) и иррационального числа — иррациональное число.

1. Пример 1расчёт

   Сравнение

   Решение

   • √2 ≈ 1,414, а 1,5 = 1,5, значит √2 < 1,5
2. Пример 2расчёт

   Сложение

   Решение

   • √2 + √3 ≈ 1,414 + 1,732 = 3,146 — иррациональное число
3. Пример 3расчёт

   Умножение

   Решение

   • √2 · √3 = √6 ≈ 2,449 — иррациональное число
4. Пример 4расчёт

   Модуль

   Решение

   • |−5| = 5, |3,7| = 3,7
5. Пример 5случай

   В жизни

   Пояснение

   • при расчёте диагонали экрана телевизора используется √(a² + b²) — иррациональное число, которое сравнивают с сантиметрами

• Число π — иррациональное, его десятичная запись бесконечна и непериодична; в 2022 году вычислили более 100 триллионов знаков после запятой.
• Древнегреческий математик Пифагор считал, что все числа рациональны, но его ученик Гиппас открыл, что √2 — иррациональное число, что противоречило учению.
• На числовой прямой иррациональных чисел «больше», чем рациональных: между любыми двумя рациональными числами есть иррациональное, и наоборот.

• Рациональные числа и дроби
• Квадратные корни
• Неравенства и сравнение чисел
• Числовые промежутки