Прикидка и оценка результатов вычислений

Научиться быстро и осознанно оценивать порядок и примерное значение результата вычислений, а также проверять его правдоподобность.

В жизни мы постоянно сталкиваемся с необходимостью быстро прикинуть стоимость покупки, время в пути или количество материалов. В науке и технике оценка позволяет проверить, не закралась ли грубая ошибка в расчёты, и выбрать разумный подход к решению.

• Прикидка — это быстрое приближённое вычисление, которое позволяет получить примерное значение результата без точных расчётов.
• Оценка результата — это нахождение границ, в которых находится точное значение, то есть определение интервала (от … до …).
• Округление чисел — основа прикидки: заменяем числа близкими круглыми, чтобы упростить вычисления.
• Прикидка не даёт точного ответа, но позволяет проверить, правдоподобен ли полученный точный результат.
• Оценка может быть выполнена с избытком (когда берём числа больше) или с недостатком (когда берём числа меньше), чтобы получить верхнюю и нижнюю границы.
• Порядок величины — это степень числа 10, ближайшая к данному числу; он показывает, насколько число велико или мало.
• Прикидка и оценка тесно связаны с понятием погрешности: чем грубее округление, тем больше возможная погрешность, но тем быстрее вычисление.

Прикидка

Быстрое приближённое вычисление, при котором числа округляются до удобных значений, чтобы получить примерный результат.

Оценка результата

Определение границ (интервала), в которых находится точное значение результата вычислений.

Округление

Замена числа близким к нему числом с меньшим количеством значащих цифр (например, 347 ≈ 350 или 300).

Порядок величины

Степень числа 10, которая ближе всего к данному числу; например, для 5000 порядок — 10^3 (тысячи).

Вычисление с избытком

Оценка, при которой все числа округляются в большую сторону, чтобы получить результат, заведомо больший точного.

Вычисление с недостатком

Оценка, при которой все числа округляются в меньшую сторону, чтобы получить результат, заведомо меньший точного.

• При прикидке обычно округляют числа до одной-двух значащих цифр, чтобы упростить вычисления.
• Если прикидка даёт результат, сильно отличающийся от точного (например, в 10 раз), значит, в расчётах ошибка.
• Оценка с избытком и недостатком позволяет получить двойное неравенство: a ≤ точный результат ≤ b.
• Порядок величины определяется по первой значащей цифре: если число начинается с 1–3, порядок на единицу меньше, чем число разрядов; если с 4–9, то равен числу разрядов минус 1 (например, 5000 — порядок 10^3, а 2500 — тоже 10^3).
• Прикидка часто используется для проверки ответов, полученных на калькуляторе: если калькулятор показывает абсурд, прикидка это обнаружит.
• Относительная погрешность прикидки тем меньше, чем точнее округлены исходные числа.

1. Пример 1расчёт

   Покупка в магазине

   Решение

   • если вы купили 3 товара по 97, 198 и 305 рублей, прикидка: 100 + 200 + 300 = 600, значит, сумма около 600 рублей (точная 600)
2. Пример 2расчёт

   Поездка на автомобиле

   Решение

   • расстояние 245 км, скорость около 80 км/ч — прикидка времени: 240/80 = 3 часа, значит, поездка займёт примерно 3 часа
3. Пример 3расчёт

   Проверка вычисления

   Решение

   • 487 × 32 ≈ 500 × 30 = 15000, а точный ответ 15584 — прикидка показывает, что результат правдоподобен
4. Пример 4расчёт

   Оценка площади комнаты

   Решение

   • длина 5,8 м, ширина 3,9 м — прикидка: 6 × 4 = 24 м², точная площадь около 22,6 м²

• В древности купцы использовали прикидку для быстрой проверки правильности расчётов на абаке (счётах).
• В физике оценка порядка величины позволяет быстро определить, например, сколько молекул в стакане воды — около 10^24, не считая точно.
• В астрономии расстояния до звёзд часто оценивают по порядку величины, потому что точные измерения очень сложны.

• Округление чисел (7 класс)
• Приближённые вычисления (8 класс)
• Степень с целым показателем (8 класс)
• Квадратные корни (8 класс)