Математика · 9 класс · Математика ФГОС · урок 10 · только теория
Линейное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к линейным
Линейное уравнение — это простейший вид уравнения, где переменная стоит только в первой степени. Решение таких уравнений сводится к выполнению простых арифметических операций, а уравнения, которые выглядят сложнее, часто можно свести к линейным путём преобразований.
Чему учимся понимать
Научиться распознавать линейные уравнения и уверенно решать их, а также приводить к линейному виду более сложные уравнения.
Зачем это нужно
Линейные уравнения — это фундамент для решения многих практических задач: от расчёта бюджета до определения скорости движения. Они лежат в основе более сложных разделов математики и естественных наук.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Линейное уравнение — это уравнение вида ax + b = 0, где a и b — числа, a ≠ 0.
- Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
- Линейное уравнение всегда имеет ровно один корень, если a ≠ 0.
- Уравнения, содержащие дроби, скобки или переменные в обеих частях, можно привести к линейному виду путём преобразований.
- При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую, знак слагаемого меняется на противоположный.
- Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю, при этом корни не изменяются.
- Если в уравнении есть дроби, их можно устранить, умножив обе части на общий знаменатель.
Определения
- Уравнение
- Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой (например, x).
- Корень уравнения
- Число, при подстановке которого вместо переменной уравнение становится верным равенством.
- Линейное уравнение
- Уравнение вида ax + b = 0, где a и b — известные числа, a ≠ 0.
- Коэффициент при переменной
- Число, на которое умножается переменная (в уравнении ax + b = 0 это число a).
- Свободный член
- Число без переменной (в уравнении ax + b = 0 это число b).
- Равносильные уравнения
- Уравнения, имеющие одинаковые корни (или оба не имеющие корней).
Ключевые факты и правила
- Формула корня линейного уравнения ax + b = 0: x = -b/a (при a ≠ 0).
- Если a = 0 и b ≠ 0, уравнение 0·x + b = 0 не имеет корней.
- Если a = 0 и b = 0, уравнение 0·x = 0 имеет бесконечно много корней (любое число).
- При решении уравнений можно переносить слагаемые из одной части в другую, меняя их знак.
- Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число не меняет корней.
- Чтобы избавиться от дробей, умножьте обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей.
Теория
Шаг 1: Распознайте линейное уравнение — переменная только в первой степени, нет x², x³ и т.д.
Шаг 2: Если есть скобки, раскройте их, используя распределительный закон.
Шаг 3: Если есть дроби, умножьте обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей.
Шаг 4: Перенесите все слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую, меняя знаки при переносе.
Шаг 5: Приведите подобные слагаемые, получите уравнение вида ax = c.
Шаг 6: Разделите обе части на коэффициент при переменной, чтобы найти корень.
Примеры
- Пример 1расчёт
Пример из жизни
Решение
- если вы покупаете 3 одинаковые тетради и платите 150 рублей, то цена одной тетради находится из уравнения 3x = 150, где x — цена тетради
- Пример 2расчёт
Пример из физики
Решение
- для равномерного движения скорость v находится из уравнения v·t = S, где t — время, S — путь
- Пример 3расчёт
Пример из геометрии
Решение
- периметр прямоугольника со сторонами a и b равен P = 2(a + b)
- Если известны P и a, то b находится из линейного уравнения 2(a + b) = P
Интересно знать
- Линейные уравнения использовались ещё в Древнем Египте и Вавилоне для решения задач о распределении зерна и измерении земли.
- Слово «алгебра» происходит от названия труда аль-Хорезми «Китаб аль-джебр валь-мукабала», где описывались методы решения уравнений, включая линейные.
Связанные темы
- Решение задач с помощью уравнений
- Квадратные уравнения
- Системы линейных уравнений