Квадратное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Научиться распознавать квадратные уравнения, решать их разными способами и приводить к ним другие типы уравнений.

Квадратные уравнения описывают множество реальных процессов: движение тел под действием силы тяжести, расчёт площадей, экономические модели, инженерные расчёты. Умение решать их необходимо для дальнейшего изучения алгебры, геометрии и физики.

• Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.
• Количество корней квадратного уравнения определяется знаком дискриминанта D = b² − 4ac.
• Если D > 0, уравнение имеет два различных корня; если D = 0 — один корень (два совпадающих); если D < 0 — корней нет.
• Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле x = (−b ± √D) / (2a).
• Для приведённого квадратного уравнения (a = 1) работает теорема Виета: сумма корней равна −b, произведение равно c.
• Некоторые уравнения (биквадратные, дробно-рациональные, уравнения с заменой) сводятся к квадратным путём введения новой переменной или преобразования.
• При решении дробно-рациональных уравнений обязательно учитывать ОДЗ, чтобы исключить посторонние корни.

Квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.

Дискриминант

Число D = b² − 4ac, которое показывает, сколько корней имеет квадратное уравнение.

Корень уравнения

Значение переменной, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство.

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент a = 1, то есть x² + px + q = 0.

Биквадратное уравнение

Уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0, которое решается заменой y = x² и сводится к квадратному.

ОДЗ (область допустимых значений)

Множество значений переменной, при которых выражение в уравнении имеет смысл (например, знаменатель не равен нулю).

• Формула дискриминанта: D = b² − 4ac.
• Формула корней: x = (−b ± √D) / (2a) при D ≥ 0.
• Если D > 0 — два корня, D = 0 — один корень (x = −b/(2a)), D < 0 — корней нет.
• Теорема Виета для x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q.
• Биквадратное уравнение ax⁴ + bx² + c = 0 решается заменой y = x², при этом y ≥ 0.
• Дробно-рациональное уравнение решается умножением на общий знаменатель, но с учётом ОДЗ.

1. Пример 1расчёт
   • Уравнение x² − 5x + 6 = 0: D = 25 − 24 = 1
   • корни x₁ = 2
   • x₂ = 3. По теореме Виета: 2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6
2. Пример 2расчёт
   • Биквадратное уравнение x⁴ − 5x² + 4 = 0: замена y = x²
   • получаем y² − 5y + 4 = 0
   • корни y₁ = 1
   • y₂ = 4
   • отсюда x = ±1, ±2
3. Пример 3расчёт
   • Дробно-рациональное уравнение (x + 1)/(x − 2) = 3: умножаем на (x − 2)
   • получаем x + 1 = 3(x − 2), решаем линейное, но проверяем, что x ≠ 2 (ОДЗ)
4. Пример 4расчёт

   В физике

   Решение

   • высота мяча, брошенного вверх, описывается уравнением h = v₀t − (gt²)/2, где t — время
   • Решая квадратное уравнение, можно найти момент, когда мяч достигнет заданной высоты

• Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminare — «различать», потому что он различает случаи числа корней.
• Квадратные уравнения умели решать ещё в Древнем Вавилоне около 2000 лет до н.э., но только для положительных корней.
• Теорема Виета была сформулирована французским математиком Франсуа Виетом в XVI веке и стала одним из первых шагов к современной алгебре.

• Линейные уравнения
• Функция y = ax² + bx + c, её график
• Неравенства второй степени
• Системы уравнений
• Арифметический квадратный корень