Решение дробно-рациональных уравнений

Научиться решать дробно-рациональные уравнения, правильно находить область допустимых значений и проверять корни.

Такие уравнения встречаются в физике (например, при расчёте скорости, времени), в экономике (пропорции, доли) и в самой математике — они лежат в основе многих задач на движение, работу и смеси.

• Дробно-рациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная содержится в знаменателе дроби.
• Прежде чем решать, нужно найти ОДЗ — все значения переменной, при которых знаменатели не равны нулю.
• Чтобы избавиться от дробей, умножают обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей.
• После умножения получается целое уравнение, которое решают обычными способами.
• Каждый найденный корень обязательно проверяют: подходит ли он по ОДЗ и обращает ли уравнение в верное равенство.
• Корни, не входящие в ОДЗ, отбрасываются — они называются посторонними.

Дробно-рациональное уравнение

Уравнение, в котором есть дробь, а в знаменателе этой дроби стоит выражение с переменной (например, 2/(x-3) = 5).

Область допустимых значений (ОДЗ)

Все значения переменной, при которых уравнение имеет смысл (знаменатели не равны нулю).

Посторонний корень

Число, которое получается при решении, но не подходит в исходное уравнение (например, из-за ОДЗ).

Общий знаменатель

Выражение, на которое можно умножить все части уравнения, чтобы избавиться от знаменателей.

• ОДЗ находится до начала решения: каждый знаменатель приравнивают к нулю, и эти значения исключают.
• Умножать обе части уравнения можно только на выражение, не равное нулю (иначе потеряются корни или появятся посторонние).
• После умножения на общий знаменатель уравнение становится целым (без дробей).
• Проверка корней обязательна: подставляем в исходное уравнение или сверяем с ОДЗ.
• Если корень не входит в ОДЗ, он отбрасывается, даже если он удовлетворяет целому уравнению.

1. Пример 1расчёт

   Пример

   Решение

   • уравнение 3/(x-2) = 1. ОДЗ: x ≠ 2. Умножаем на (x-2): 3 = x-2, отсюда x = 5. Проверка: 3/(5-2) = 1 — верно
2. Пример 2расчёт

   Пример из жизни

   Решение

   • если автомобиль проехал 120 км со скоростью v км/ч, то время в пути t = 120/v
   • Уравнение 120/v = 2 — дробно-рациональное, решаем: v = 60 км/ч
3. Пример 3расчёт

   Пример с посторонним корнем

   Решение

   • (x-1)/(x-2) = 0. ОДЗ: x ≠ 2. Умножаем на (x-2): x-1 = 0, x = 1. Проверка: (1-1)/(1-2) = 0 — подходит. А вот если бы получился x = 2, он был бы посторонним

• Дробно-рациональные уравнения использовались ещё в древнем Вавилоне для расчёта долей наследства и земельных участков.
• В физике с их помощью описывают, например, зависимость времени от скорости при равномерном движении: t = S/v, где v — в знаменателе.
• Термин «посторонний корень» появился потому, что при преобразованиях уравнение может «притянуть» лишние решения, как магнит притягивает опилки.

• Рациональные выражения и их преобразования
• Квадратные уравнения
• Решение уравнений с дробями (7 класс)