Решение текстовых задач алгебраическим методом

Научиться переводить условие текстовой задачи на математический язык, составлять уравнение или систему уравнений и решать её, интерпретируя результат.

Умение решать текстовые задачи развивает логическое мышление и навыки моделирования, которые необходимы в любой сфере: от планирования бюджета до инженерных расчётов. Это также обязательный элемент ОГЭ и ЕГЭ по математике.

• Алгебраический метод решения текстовых задач заключается в составлении уравнения или системы уравнений по условию задачи и последующем решении этой математической модели.
• Основные этапы решения: анализ условия, введение неизвестных, составление уравнения (или системы), решение, проверка и интерпретация результата.
• При выборе неизвестного обычно обозначают буквой x ту величину, которую требуется найти, или ту, через которую удобно выразить остальные.
• В задачах на движение используются формулы: путь = скорость × время, скорость = путь / время, время = путь / скорость.
• В задачах на работу: работа = производительность × время, производительность = работа / время.
• В задачах на проценты: процент от числа находится умножением, а число по его проценту — делением.
• В задачах на смеси и сплавы: масса вещества в смеси равна сумме масс веществ в компонентах, а концентрация — отношение массы вещества к массе смеси.
• Полученное решение уравнения должно быть проверено на соответствие условию задачи (например, скорость не может быть отрицательной).

Текстовая задача

Задача, в которой описание ситуации дано словами, а не математическими символами, и требуется найти неизвестные величины.

Алгебраический метод

Способ решения задачи, при котором условие переводится в уравнение или систему уравнений, которые затем решаются алгебраическими приёмами.

Математическая модель

Уравнение, система уравнений или неравенство, которые описывают условие задачи.

Переменная (неизвестное)

Буква (обычно x), которой обозначают неизвестную величину в задаче.

Корень уравнения

Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Производительность

Количество работы, выполняемое за единицу времени (например, деталей в час).

Концентрация

Отношение массы вещества к массе всего раствора или смеси, обычно выраженное в процентах.

• Формула пути: S = v · t, где S — путь, v — скорость, t — время.
• Формула работы: A = P · t, где A — работа, P — производительность, t — время.
• Чтобы найти процент от числа, нужно умножить число на процент, выраженный десятичной дробью (например, 15% от 200 = 200 · 0,15 = 30).
• Чтобы найти число по его проценту, нужно разделить известную часть на процент, выраженный десятичной дробью (например, если 20% числа равны 40, то число = 40 / 0,2 = 200).
• При решении задач на движение по воде: скорость по течению = собственная скорость + скорость течения, скорость против течения = собственная скорость - скорость течения.
• При решении задач на смеси: масса вещества в смеси = масса первого компонента × его концентрация + масса второго компонента × его концентрация.
• Если в задаче несколько неизвестных, часто удобно составить систему уравнений, используя условия о сумме, разности, произведении или отношении величин.

1. Пример 1расчёт

   Задача на движение

   Решение

   • автомобиль проехал расстояние между городами за 3 часа, а мотоциклист — за 5 часов
   • Если скорость автомобиля на 20 км/ч больше, то можно составить уравнение: 3(x+20) = 5x, где x — скорость мотоциклиста
2. Пример 2расчёт

   Задача на работу

   Решение

   • два крана наполняют бассейн за 4 часа, а первый кран — за 6 часов
   • Чтобы найти время наполнения вторым краном, составляем уравнение: 1/6 + 1/x = 1/4
3. Пример 3расчёт

   Задача на проценты

   Решение

   • цена товара сначала повысилась на 10%, а затем снизилась на 10%
   • Новая цена не равна исходной, а составляет 99% от неё, что можно показать уравнением: x · 1,1 · 0,9 = 0,99x
4. Пример 4расчёт

   Задача на смеси

   Решение

   • чтобы получить 10 литров 20%-го раствора соли, смешивая 10%-й и 30%-й растворы, можно составить уравнение: 0,1x + 0,3(10-x) = 0,2·10, где x — объём первого раствора

• Слово «алгебра» происходит от названия труда среднеазиатского математика аль-Хорезми «Китаб аль-джебр валь-мукабала», где «аль-джебр» означает «восстановление» (перенос членов уравнения).
• Многие экономические и физические задачи, которые решают учёные, — это по сути те же текстовые задачи, только с более сложными уравнениями.
• В древних египетских папирусах (около 2000 лет до н.э.) уже встречаются задачи, решаемые методом, похожим на алгебраический, например, задача о «куче» (неизвестном количестве зерна).

• Линейные уравнения
• Квадратные уравнения
• Системы уравнений
• Рациональные уравнения
• Прогрессии