Контрольная работа по теме "Уравнения с одной переменной"

Научиться видеть тип уравнения и выбирать правильный и рациональный способ его решения, а также понимать, какие преобразования допустимы, а какие могут привести к потере корней.

Умение решать уравнения — это базовая математическая грамотность. Оно нужно для решения задач по физике, химии, экономике, для понимания графиков функций и для успешной сдачи экзаменов. В жизни это умение находить неизвестное, исходя из известных условий.

• Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
• Уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.
• При возведении обеих частей уравнения в квадрат или умножении на выражение с переменной равносильность может нарушаться, поэтому обязательна проверка корней.
• Для дробно-рациональных уравнений критически важно исключать значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль.
• Любое квадратное уравнение можно решить через дискриминант, но для приведенных уравнений часто быстрее работает теорема Виета.
• Уравнение вида ax^4 + bx^2 + c = 0 (биквадратное) решается методом введения новой переменной t = x^2 с последующей проверкой условия t ≥ 0.
• Графический метод решения уравнений является приближенным и требует обоснования единственности корня.

Уравнение с одной переменной

Равенство, содержащее одну неизвестную переменную (например, x), значение которой нужно найти.

Корень уравнения

Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Равносильные уравнения

Уравнения, у которых совпадают все корни (или оба не имеют корней).

Область допустимых значений (ОДЗ)

Множество всех значений переменной, при которых обе части уравнения имеют смысл (например, знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно).

Дробно-рациональное уравнение

Уравнение, в котором есть деление на выражение, содержащее переменную.

Дискриминант

Число D = b² - 4ac, вычисляемое для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. По его знаку определяют количество корней.

• Линейное уравнение ax + b = 0 при a ≠ 0 имеет единственный корень x = -b/a. Если a = 0 и b = 0, корней бесконечно много; если a = 0 и b ≠ 0, корней нет.
• Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0: если D > 0, два корня; если D = 0, один корень; если D < 0, действительных корней нет.
• Теорема Виета для приведенного уравнения x² + px + q = 0: сумма корней равна -p, а произведение равно q.
• При решении дробно-рациональных уравнений, после умножения на общий знаменатель, необходимо проверить, не обращают ли найденные корни знаменатель исходного уравнения в ноль.
• Уравнение с модулем |f(x)| = a при a > 0 распадается на два уравнения: f(x) = a и f(x) = -a.

1. Пример 1расчёт

   Линейное уравнение

   Решение

   • 3x - 7 = 2x + 5
   • Переносим слагаемые: 3x - 2x = 5 + 7, получаем x = 12
   • Это единственный корень
2. Пример 2расчёт

   Квадратное уравнение

   Решение

   • x² - 5x + 6 = 0
   • По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение 6
   • Значит, корни — это 2 и 3
3. Пример 3расчёт

   Дробно-рациональное уравнение

   Решение

   • (x + 1)/(x - 2) = 3. ОДЗ: x ≠ 2. Умножаем на (x - 2): x + 1 = 3x - 6. Решаем: 2x = 7, x = 3.5. Проверка: 3.5 ≠ 2, значит, корень подходит
4. Пример 4расчёт

   Биквадратное уравнение

   Решение

   • x⁴ - 5x² + 4 = 0
   • Пусть t = x², тогда t² - 5t + 4 = 0
   • Корни t = 1 и t = 4
   • Возвращаемся к x: x² = 1 (x = ±1) и x² = 4 (x = ±2)
   • Итого 4 корня

• Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminare — «различать», так как он позволяет различить, сколько корней у уравнения.
• Формулу для решения квадратного уравнения знали еще в Древнем Вавилоне более 4000 лет назад, но тогда ее формулировали словесно, без буквенных обозначений.
• Теорема Виета была доказана французским математиком Франсуа Виетом в XVI веке, но сам он использовал ее только для уравнений с положительными корнями.

• Неравенства с одной переменной
• Квадратичная функция и её график
• Системы уравнений
• Арифметический квадратный корень