Уравнение с двумя переменными и его график

Научиться понимать, что такое уравнение с двумя переменными, его решение и график, а также строить графики некоторых уравнений.

Уравнения с двумя переменными описывают множество реальных зависимостей: от движения (путь и время) до экономических связей (цена и количество). График уравнения позволяет наглядно увидеть все возможные решения, что важно для анализа и прогнозирования.

• Уравнение с двумя переменными — это равенство, содержащее две неизвестные величины, обычно обозначаемые x и y.
• Решением уравнения с двумя переменными называется пара чисел (x; y), которая обращает уравнение в верное числовое равенство.
• График уравнения с двумя переменными — это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
• График линейного уравнения ax + by = c (где a и b не равны нулю одновременно) — прямая линия.
• График уравнения x² + y² = r² — окружность с центром в начале координат и радиусом r.
• График уравнения y = x² — парабола, симметричная относительно оси ординат.
• Одно и то же уравнение может иметь бесконечно много решений, и все они изображаются точками на графике.
• Для построения графика уравнения с двумя переменными часто выражают одну переменную через другую, если это возможно.

Уравнение с двумя переменными

Равенство, содержащее две переменные (обычно x и y), например, 2x + 3y = 6 или y = x².

Решение уравнения с двумя переменными

Пара чисел (x; y), при подстановке которых в уравнение получается верное числовое равенство.

График уравнения с двумя переменными

Множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by = c, где a, b, c — числа, причем a и b не равны нулю одновременно. Его график — прямая.

Координатная плоскость

Плоскость, на которой заданы две перпендикулярные оси (Ox и Oy) с общим началом отсчета, позволяющие определять положение точек.

• Чтобы проверить, является ли пара чисел решением уравнения, нужно подставить эти числа вместо x и y и убедиться, что получилось верное равенство.
• График линейного уравнения ax + by = c — прямая; для её построения достаточно найти две точки.
• График уравнения y = x² — парабола, ветви которой направлены вверх, вершина в точке (0; 0).
• График уравнения x² + y² = r² — окружность с центром в начале координат и радиусом r.
• Если уравнение имеет вид y = kx + b, то его график — прямая с угловым коэффициентом k, пересекающая ось Oy в точке (0; b).
• Не любое уравнение с двумя переменными можно разрешить относительно y (например, x² + y² = 9).

1. Пример 1расчёт
   • Уравнение 2x + 3y = 6. Пара (0; 2) — решение
   • так как 2·0 + 3·2 = 6. Пара (3; 0) — тоже решение. График — прямая, проходящая через эти точки
2. Пример 2расчёт
   • Уравнение y = x². Пара (2; 4) — решение
   • так как 4 = 2². График — парабола, проходящая через точки (0;0), (1;1), (2;4), (-1;1) и т.д
3. Пример 3расчёт
   • Уравнение x² + y² = 25. Пара (3; 4) — решение
   • так как 9 + 16 = 25. График — окружность радиусом 5 с центром в начале координат
4. Пример 4расчёт

   В жизни

   Решение

   • зависимость стоимости поездки на такси от расстояния может быть описана линейным уравнением y = 50x + 100, где x — километры, y — рубли
   • График — прямая

• График уравнения x² + y² = 1 — это единичная окружность, которая используется в тригонометрии для определения синуса и косинуса углов.
• Уравнение y = x² описывает форму траектории мяча, брошенного под углом к горизонту (без учета сопротивления воздуха).
• График уравнения y = |x| — это «галочка», которая симметрична относительно оси Oy и имеет вершину в начале координат.

• Линейная функция и её график (7 класс)
• Системы уравнений с двумя переменными (9 класс)
• Квадратичная функция (9 класс)
• Уравнение окружности (9 класс)