Решение систем двух уравнений, одно из которых линейное, а другое — второй степени

Научиться решать системы уравнений, состоящие из линейного уравнения и уравнения второй степени, и понимать геометрический смысл решений.

Такие системы описывают реальные ситуации, где одна величина зависит от другой линейно, а другая — квадратично. Например, расчёт траектории полёта мяча (парабола) и пересечение с землёй (прямая), или определение точек встречи движущихся объектов.

• Система, состоящая из линейного уравнения и уравнения второй степени, обычно имеет не более двух решений.
• Метод подстановки — основной алгебраический способ решения таких систем.
• Графически решение системы — это координаты точек пересечения прямой и кривой (параболы, окружности).
• Если из линейного уравнения выразить одну переменную через другую и подставить в квадратное, получится квадратное уравнение относительно одной переменной.
• Количество решений системы зависит от дискриминанта полученного квадратного уравнения: если D>0 — два решения, D=0 — одно, D<0 — решений нет.
• При решении систем важно проверять найденные значения, подставляя их в оба исходных уравнения.

Система уравнений

Два или более уравнения, которые должны выполняться одновременно, то есть нужно найти такие значения переменных, которые обращают каждое уравнение в верное равенство.

Линейное уравнение

Уравнение вида ax + by = c, где a, b, c — числа, а x и y — переменные. Его график — прямая линия.

Уравнение второй степени

Уравнение, в котором переменная возводится в квадрат (например, y = x² + 2x - 1). Его график — парабола (или окружность, если уравнение вида x² + y² = r²).

Метод подстановки

Способ решения системы, при котором из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной.

Дискриминант

Число, вычисляемое по формуле D = b² - 4ac для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Он показывает, сколько корней имеет уравнение.

• Для решения системы { y = x², y = x + 2 } подстановкой: подставляем y = x + 2 в первое уравнение, получаем x + 2 = x², то есть x² - x - 2 = 0.
• Квадратное уравнение x² - x - 2 = 0 имеет дискриминант D = (-1)² - 4·1·(-2) = 1 + 8 = 9, значит, два корня: x₁ = 2, x₂ = -1.
• После нахождения x, подставляем его в линейное уравнение, чтобы найти соответствующее y. Например, при x = 2, y = 2 + 2 = 4.
• Графически решение системы — это координаты точек пересечения прямой и параболы. Если прямая не пересекает параболу, решений нет.
• Если в системе есть уравнение окружности (x² + y² = r²) и линейное уравнение, то решений может быть 0, 1 или 2 — в зависимости от того, пересекает ли прямая окружность, касается её или проходит мимо.
• При решении систем с окружностью часто используют подстановку, но также можно применить геометрический подход, вычисляя расстояние от центра до прямой.

1. Пример 1расчёт

   Пример

   Решение

   • система { y = x², y = 2x + 1 }
   • Подставляем: x² = 2x + 1, получаем x² - 2x - 1 = 0
   • D = 4 + 4 = 8, корни x = 1 ± √2
   • Для каждого x находим y по линейному уравнению
   • Получаем две точки пересечения
2. Пример 2расчёт

   Пример из жизни

   Решение

   • мяч, брошенный под углом, летит по параболе (y = -x² + 4x), а линия земли — прямая y = 0
   • Решая систему, находим, где мяч приземлится
3. Пример 3расчёт

   Пример

   Решение

   • система { x² + y² = 25, y = x + 1 } — окружность радиусом 5 и прямая
   • Подставляем y = x + 1 в окружность, получаем x² + (x+1)² = 25, решаем квадратное уравнение — находим точки пересечения

• График уравнения y = x² — это парабола, которую можно увидеть в форме антенны спутниковой тарелки или траектории струи фонтана.
• Если прямая касается параболы (имеет одну общую точку), то система имеет ровно одно решение — это происходит, когда дискриминант равен нулю.
• Системы с окружностью и прямой описывают, например, пересечение луча света с круглым зеркалом — в оптике это важно для фокусировки.

• Квадратные уравнения и их корни
• Линейные уравнения с двумя переменными
• Графики функций: прямая и парабола
• Метод подстановки для систем линейных уравнений