Решение текстовых задач алгебраическим способом

Научиться переводить условие текстовой задачи на математический язык, составлять уравнение и находить ответ.

Умение решать текстовые задачи алгебраическим способом развивает логическое мышление и навыки моделирования реальных процессов. Это необходимо для сдачи ОГЭ, а также пригодится в повседневной жизни: при расчёте покупок, планировании времени, анализе финансов и в профессиональной деятельности.

• Алгебраический способ решения задач заключается в составлении уравнения по условию задачи и его последующем решении.
• Переменная (обычно x) обозначает неизвестную величину, которую требуется найти.
• Уравнение — это математическая запись условия задачи, где левая и правая части равны.
• Решение уравнения — это нахождение всех его корней, то есть значений переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство.
• После нахождения корня необходимо проверить, удовлетворяет ли он смыслу задачи (например, скорость не может быть отрицательной).
• Для составления уравнения нужно выделить в условии известные и неизвестные величины и установить связь между ними.
• Алгебраический способ универсален и позволяет решать задачи, которые сложно или невозможно решить арифметически.

Текстовая задача

Описание некоторой ситуации на естественном языке, в которой требуется найти неизвестную величину, используя данные условия.

Алгебраический способ решения

Метод решения задачи, при котором неизвестные величины обозначаются буквами, а условие задачи записывается в виде уравнения или системы уравнений.

Уравнение

Равенство, содержащее неизвестную величину (переменную), которое выполняется только при определённых значениях этой переменной.

Корень уравнения

Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Моделирование

Процесс замены реальной ситуации её математической моделью, например, уравнением.

Производительность

Количество работы, выполняемой за единицу времени (например, деталей в час, страниц в день).

• Основные этапы решения задачи алгебраическим способом: 1) анализ условия, 2) обозначение неизвестного, 3) составление уравнения, 4) решение уравнения, 5) проверка и интерпретация результата.
• При решении задач на движение используется формула: S = v · t, где S — путь, v — скорость, t — время.
• При решении задач на проценты: часть = процент / 100 · целое.
• При решении задач на работу: работа = производительность · время.
• Если в задаче несколько неизвестных, можно ввести несколько переменных и составить систему уравнений.
• Корень уравнения должен быть проверен на соответствие условию задачи: например, если x — количество человек, то x должно быть целым положительным числом.

1. Пример 1расчёт

   Задача на движение

   Решение

   • автомобиль проехал расстояние между городами за 3 часа со скоростью 80 км/ч
   • Какое расстояние? Здесь S = 80 · 3 = 240 км
2. Пример 2расчёт

   Задача на проценты

   Решение

   • в классе 25 учеников, 20% из них — отличники
   • Сколько отличников? 0,2 · 25 = 5
3. Пример 3расчёт

   Задача на работу

   Решение

   • один рабочий делает 10 деталей в час, другой — 15
   • За сколько часов они сделают 100 деталей, работая вместе? Производительность вместе = 25 деталей/час, время = 100 / 25 = 4 часа
4. Пример 4расчёт

   Задача на смеси

   Решение

   • нужно получить 10 литров раствора с концентрацией 20%
   • Если есть 30% раствор и вода, то сколько нужно взять раствора? Обозначим x — количество 30% раствора, тогда 0,3x = 0,2·10, откуда x ≈ 6,67 литра

• Слово «алгебра» происходит от названия труда среднеазиатского математика аль-Хорезми «Китаб аль-джебр валь-мукабала», где «аль-джебр» означает восстановление (перенос членов уравнения).
• Многие задачи из учебников алгебры имеют древнее происхождение: например, задачи на движение встречаются ещё в папирусе Ахмеса (около 1550 г. до н.э.).
• Алгебраический способ позволяет решать задачи, которые кажутся неразрешимыми «в уме», например, задачи на смеси и сплавы.

• Линейные уравнения
• Квадратные уравнения
• Системы уравнений
• Рациональные уравнения
• Проценты
• Функции и графики