Контрольная работа по теме "Системы уравнений"

Научиться понимать, что такое система уравнений, и освоить основные методы её решения: графический, подстановки и сложения.

Системы уравнений — это мощный инструмент для решения задач из жизни, где есть две неизвестные величины, связанные условиями. Например, расчёт стоимости товаров, скорости движения, смесей и сплавов. Умение решать системы пригодится не только на экзаменах, но и в повседневной жизни, а также в будущей профессиональной деятельности.

• Система уравнений — это два или более уравнения, которые рассматриваются совместно, и ищется общее решение.
• Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что их нет.
• Графический метод основан на построении графиков уравнений и нахождении точек их пересечения.
• Метод подстановки заключается в выражении одной переменной через другую и подстановке в другое уравнение.
• Метод сложения основан на почленном сложении уравнений с целью исключения одной переменной.
• Системы могут иметь одно решение, бесконечно много решений или не иметь решений.
• Равносильные системы — это системы, имеющие одинаковые множества решений.

Система уравнений

Несколько уравнений, для которых нужно найти общее решение, то есть значения переменных, удовлетворяющие всем уравнениям одновременно.

Решение системы

Пара чисел (x; y), которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Графический метод

Способ решения, при котором строятся графики уравнений на координатной плоскости, а координаты точек пересечения графиков являются решениями системы.

Метод подстановки

Алгебраический способ, при котором из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют полученное выражение в другое уравнение.

Метод сложения

Алгебраический способ, при котором уравнения системы складывают (или вычитают) почленно, чтобы исключить одну из переменных.

Несовместная система

Система, которая не имеет решений (например, графики уравнений — параллельные прямые).

Неопределённая система

Система, которая имеет бесконечно много решений (например, графики уравнений совпадают).

• Система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь: одно решение (прямые пересекаются), бесконечно много решений (прямые совпадают), ни одного решения (прямые параллельны).
• При решении методом подстановки важно правильно выразить одну переменную через другую и не потерять знаки.
• Метод сложения удобен, когда коэффициенты при одной из переменных являются противоположными числами.
• Графический метод даёт приближённое решение, если координаты точки пересечения не являются целыми числами.
• Любая система линейных уравнений может быть решена как методом подстановки, так и методом сложения, выбор зависит от конкретного вида системы.

1. Пример 1расчёт

   Пример системы

   Решение

   • 2x + y = 5, x - y = 1
   • Решая методом сложения, получаем x = 2, y = 1
2. Пример 2случай

   В задаче про покупку двух видов конфет

   Пояснение

   • если килограмм одних конфет стоит a рублей, а других — b рублей, то система уравнений позволяет найти цены, зная общую стоимость и вес
3. Пример 3случай

   В физике

   Пояснение

   • для нахождения скорости течения реки и скорости лодки в стоячей воде составляют систему уравнений, используя время движения по течению и против течения

• Метод подстановки был известен ещё древнекитайским математикам более 2000 лет назад.
• Графический метод решения систем уравнений стал возможен после изобретения координатной плоскости Рене Декартом в XVII веке.
• Системы уравнений используются в экономике для расчёта равновесной цены и количества товара на рынке.

• Линейные уравнения с двумя переменными
• Графики линейных функций
• Решение задач с помощью систем уравнений