Числовые неравенства и их свойства

Научиться понимать, что такое числовое неравенство, и применять его основные свойства для сравнения чисел и выражений.

Неравенства окружают нас повсюду: от сравнения цен и температур до ограничений скорости и времени. В науке и технике неравенства описывают допустимые диапазоны значений, например, предельные нагрузки или дозировки лекарств. Понимание свойств неравенств — основа для решения более сложных задач в алгебре и геометрии.

• Числовое неравенство — это высказывание о том, что одно число больше или меньше другого.
• Строгие неравенства (>, <) исключают равенство, а нестрогие (≥, ≤) допускают его.
• Сравнение чисел можно выполнять через разность: если a - b > 0, то a > b.
• К обеим частям неравенства можно прибавить или вычесть одно и то же число, не меняя знак неравенства.
• Обе части неравенства можно умножать или делить на одно и то же положительное число, не меняя знак.
• При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Двойное неравенство a < b < c означает, что b больше a, но меньше c.

Числовое неравенство

Запись вида a > b, a < b, a ≥ b или a ≤ b, где a и b — числа или выражения, которая утверждает, что одно число больше, меньше или равно другому.

Строгое неравенство

Неравенство со знаком > (больше) или < (меньше), которое не допускает равенства. Например, 5 > 3.

Нестрогое неравенство

Неравенство со знаком ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно), которое допускает равенство. Например, 4 ≤ 4.

Двойное неравенство

Запись вида a < b < c, которая объединяет два неравенства: a < b и b < c. Означает, что b находится между a и c.

• Если a > b, то a - b > 0; если a < b, то a - b < 0. Это правило позволяет сравнивать числа через разность.
• Свойство 1: Если a > b, то a + c > b + c для любого числа c. То есть к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
• Свойство 2: Если a > b и c > 0, то ac > bc. При умножении на положительное число знак неравенства сохраняется.
• Свойство 3: Если a > b и c < 0, то ac < bc. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Свойство 4 (транзитивность): Если a > b и b > c, то a > c. Это позволяет сравнивать числа через промежуточное.
• Из неравенства a > b следует, что b < a. Знак неравенства можно перевернуть, поменяв местами части.

1. Пример 1случай

   Температура воздуха

   Пояснение

   • если утром было -5°C, а днём +3°C, то -5 < 3
   • Это неравенство описывает изменение погоды
2. Пример 2расчёт

   Сравнение скоростей

   Решение

   • автомобиль едет со скоростью 60 км/ч, а мотоцикл — 80 км/ч
   • Тогда 60 < 80, и разность скоростей 80 - 60 = 20 > 0
3. Пример 3случай

   Двойное неравенство

   Пояснение

   • нормальный рост школьника 9 класса может быть от 140 до 170 см, что записывается как 140 ≤ рост ≤ 170
4. Пример 4случай

   Если к обеим частям неравенства 5 > 3 прибавить 2, получим 7 > 5

   Пояснение

   • неравенство остаётся верным

• Знаки «больше» и «меньше» придумал английский математик Томас Хэрриот в конце XVI века. Он использовал их в своих рукописях, но опубликовали их только после его смерти.
• В Древней Греции сравнение чисел часто выполняли геометрически: длина отрезка или площадь фигуры. Символов неравенств тогда не было.
• Неравенства широко используются в экономике: например, для определения точки безубыточности, когда доход должен быть больше расходов.

• Числовые промежутки
• Линейные неравенства с одной переменной
• Системы неравенств
• Квадратные неравенства