Линейные неравенства с одной переменной и их решение

Научиться понимать, что такое линейное неравенство с одной переменной, и освоить алгоритм его решения с помощью равносильных преобразований.

Линейные неравенства — это математическая модель множества допустимых значений в реальных задачах: от расчёта бюджета (например, «у нас не более 5000 рублей») до определения диапазона температур, при которых работает прибор. Умение решать неравенства нужно для анализа данных, в физике, экономике и даже в повседневном планировании.

• Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство вида ax + b > 0 (или <, ≥, ≤), где a и b — числа, a ≠ 0.
• Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых неравенство становится верным числовым неравенством.
• Множество решений линейного неравенства — это бесконечный промежуток на числовой прямой (луч или открытый луч).
• При переносе слагаемого из одной части неравенства в другую знак слагаемого меняется на противоположный, а знак неравенства сохраняется.
• При умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется.
• При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Если a = 0, то неравенство вырождается в числовое неравенство (например, 0·x + 5 > 0), которое либо верно при всех x, либо неверно ни при каких x.
• Графически решение неравенства изображается на числовой прямой с помощью штриховки и выколотой (для строгого) или закрашенной (для нестрогого) точки.

Линейное неравенство с одной переменной

Неравенство вида ax + b > 0 (или <, ≥, ≤), где a и b — заданные числа, a ≠ 0, а x — переменная.

Решение неравенства

Значение переменной, при подстановке которого неравенство превращается в верное числовое неравенство.

Множество решений неравенства

Все значения переменной, которые являются решениями данного неравенства; для линейного неравенства это промежуток на числовой прямой.

Равносильные неравенства

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений.

Строгое неравенство

Неравенство со знаком > или <, которое не допускает равенства; граничная точка не включается в решение.

Нестрогое неравенство

Неравенство со знаком ≥ или ≤, которое допускает равенство; граничная точка включается в решение.

• Алгоритм решения: 1) перенести все слагаемые с переменной в одну часть, без переменной — в другую (при переносе менять знаки); 2) привести подобные; 3) разделить обе части на коэффициент при x, помня о смене знака неравенства при делении на отрицательное число.
• Если при решении получается a·x > c, то при a > 0 ответ: x > c/a; при a < 0 — x < c/a (знак меняется).
• Если a = 0, то неравенство 0·x > c сводится к числовому: если c < 0, то решение — все действительные числа; если c ≥ 0, то решений нет.
• Строгие неравенства (>, <) на числовой прямой изображаются выколотой точкой, нестрогие (≥, ≤) — закрашенной.
• Ответ можно записывать в виде промежутка: (c; +∞), (−∞; c), [c; +∞), (−∞; c].
• Равносильные преобразования не меняют множество решений: перенос слагаемых, умножение/деление на ненулевое число.

1. Пример 1случай

   Пример 1

   Пояснение

   • Неравенство 2x + 3 > 7. Переносим 3 вправо: 2x > 4. Делим на 2: x > 2. Решение — все числа больше 2, на прямой — открытый луч (2
   • +∞)
2. Пример 2случай

   Пример 2

   Пояснение

   • Неравенство −3x ≤ 9. Делим на −3, меняем знак: x ≥ −3. Решение — луч [−3
   • +∞), точка −3 закрашена
3. Пример 3случай

   Пример 3

   Пояснение

   • Неравенство 0·x + 5 > 0
   • При любом x получаем 5 > 0 — верно, значит, решение — все действительные числа
4. Пример 4случай

   Пример 4

   Пояснение

   • Неравенство 0·x − 2 > 0
   • При любом x получаем −2 > 0 — неверно, значит, решений нет

• Неравенства использовались ещё в Древнем Китае для расчёта налогов и распределения ресурсов, хотя современные символы > и < появились только в XVII веке.
• Знаки > и < придумал английский математик Томас Гарриот в 1631 году, но они стали популярны лишь спустя столетие.
• В экономике линейные неравенства описывают бюджетные ограничения: например, «расходы не должны превышать доходы» — это неравенство вида x ≤ y.

• Линейные уравнения с одной переменной
• Числовые промежутки
• Системы линейных неравенств
• Квадратные неравенства