Системы линейных неравенств с одной переменной и их решение

Научиться решать системы линейных неравенств с одной переменной и правильно записывать их решения в виде промежутков.

Системы неравенств встречаются в реальной жизни, когда нужно учесть несколько условий одновременно. Например, чтобы выбрать оптимальную скорость движения (не слишком медленно, но и не слишком быстро), или при планировании бюджета (расходы не должны превышать доходы, но и не должны быть слишком маленькими для комфортной жизни).

• Система линейных неравенств с одной переменной — это два или более неравенств, которые должны выполняться одновременно.
• Решением системы является значение переменной, которое удовлетворяет каждому неравенству системы.
• Чтобы решить систему, нужно решить каждое неравенство отдельно, а затем найти пересечение полученных промежутков.
• Пересечение промежутков — это множество чисел, которые принадлежат каждому из промежутков одновременно.
• Ответ записывается в виде промежутка (или объединения промежутков) с использованием круглых и квадратных скобок.
• Если пересечение пусто, то система не имеет решений.

Система неравенств

Несколько неравенств, объединённых фигурной скобкой, которые нужно решить одновременно.

Решение системы неравенств

Число (или множество чисел), которое при подстановке в каждое неравенство делает их верными.

Пересечение промежутков

Общая часть двух или более числовых промежутков, то есть числа, которые принадлежат всем промежуткам сразу.

Строгое неравенство

Неравенство вида > или <, которое не включает граничное число в решение (на прямой изображается выколотой точкой).

Нестрогое неравенство

Неравенство вида ≥ или ≤, которое включает граничное число в решение (на прямой изображается закрашенной точкой).

• Алгоритм решения системы: 1) решить каждое неравенство отдельно; 2) отметить решения на одной числовой прямой; 3) найти пересечение; 4) записать ответ в виде промежутка.
• Если в системе одно неравенство строгое, а другое нестрогое, то граничная точка может быть включена или исключена в зависимости от того, входит ли она в оба промежутка.
• Круглая скобка ( ) означает, что граница не включена, квадратная [ ] — что включена.
• Если пересечение промежутков — пустое множество, то система не имеет решений (ответ: ∅).
• При умножении или делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

1. Пример 1случай

   Пример из жизни

   Пояснение

   • чтобы купить билет в кино, нужно быть не младше 6 лет и не старше 16 лет (если есть возрастное ограничение). Это можно записать как систему: x ≥ 6 и x ≤ 16, где x — возраст. Решение — промежуток [6
   • 16]
2. Пример 2случай

   Пример из природы

   Пояснение

   • для прорастания семян нужна температура не ниже +5°C и не выше +30°C. Система: t ≥ 5 и t ≤ 30, решение — [5
   • 30]
3. Пример 3случай

   Пример с пустым решением

   Пояснение

   • если сказано, что число должно быть больше 10 и меньше 5 одновременно, то таких чисел не существует — система не имеет решений

• Системы неравенств используются в экономике для описания области допустимых планов производства, когда нужно учесть ограничения по ресурсам.
• Понятие пересечения множеств, которое лежит в основе решения систем неравенств, пришло из теории множеств, разработанной Георгом Кантором в XIX веке.

• Линейные неравенства с одной переменной
• Числовые промежутки
• Системы уравнений