Квадратные неравенства и их решение

Научиться решать квадратные неравенства, используя графический метод (параболу) и метод интервалов.

Квадратные неравенства используются в физике (например, для определения времени полёта тела), в экономике (для нахождения прибыльных объёмов производства), в геометрии (для проверки существования фигур) и в повседневной жизни (например, чтобы понять, при каких значениях параметра проект будет успешным).

• Квадратное неравенство имеет вид ax²+bx+c>0, ax²+bx+c<0, ax²+bx+c≥0 или ax²+bx+c≤0, где a≠0.
• Решение квадратного неравенства — это множество значений x, при которых квадратный трёхчлен принимает нужный знак.
• Графиком квадратичной функции y=ax²+bx+c является парабола; если a>0, ветви направлены вверх, если a<0 — вниз.
• Знак квадратного трёхчлена на промежутках между корнями определяется знаком коэффициента a и расположением корней.
• Если дискриминант D<0, то квадратный трёхчлен не имеет корней, и его знак совпадает со знаком a на всей числовой прямой.
• Если D=0, то трёхчлен имеет один корень (два совпадающих), и он не меняет знак, кроме точки корня.
• Метод интервалов основан на том, что знак трёхчлена постоянен на каждом интервале, на которые корни разбивают числовую прямую.
• При решении нестрогих неравенств (≥, ≤) корни включаются в ответ, при строгих (> , <) — исключаются.

Квадратное неравенство

Неравенство, в левой части которого стоит квадратный трёхчлен ax²+bx+c, а справа — ноль, причём a≠0.

Квадратный трёхчлен

Многочлен вида ax²+bx+c, где a, b, c — числа, a≠0.

Дискриминант

Число D=b²−4ac, которое показывает, сколько корней имеет квадратное уравнение: если D>0 — два корня, D=0 — один корень, D<0 — корней нет.

Корень квадратного уравнения

Значение x, при котором ax²+bx+c=0; эти значения являются границами промежутков знакопостоянства.

Парабола

График квадратичной функции y=ax²+bx+c; это кривая, симметричная относительно вертикальной оси, проходящей через вершину.

Метод интервалов

Способ решения неравенств, при котором на числовой прямой отмечаются корни, затем определяются знаки выражения на каждом интервале и выбираются нужные промежутки.

• Формула корней квадратного уравнения: x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a), где D = b²−4ac.
• Если a>0, то парабола направлена ветвями вверх; если a<0 — вниз.
• Если D>0, то трёхчлен имеет два различных корня; на интервалах между корнями знак противоположен знаку a, а вне — совпадает со знаком a.
• Если D=0, то трёхчлен имеет один корень (x₀ = −b/(2a)); знак трёхчлена не меняется, он равен нулю только в точке x₀.
• Если D<0, то трёхчлен не имеет корней, и его знак совпадает со знаком a на всей числовой прямой.
• Для решения неравенства ax²+bx+c>0 при a>0 и D>0 ответ: x∈(−∞; x₁) ∪ (x₂; +∞); для ax²+bx+c<0 — x∈(x₁; x₂).
• При нестрогих неравенствах (≥, ≤) корни включаются в ответ, поэтому используются квадратные скобки.

1. Пример 1расчёт

   Пример 1

   Решение

   • Неравенство x²−5x+6>0
   • Корни уравнения x²−5x+6=0: x₁=2, x₂=3
   • Так как a=1>0, то ветви параболы вверх, и решение: x∈(−∞;2) ∪ (3;+∞)
2. Пример 2расчёт

   Пример 2

   Решение

   • Неравенство −x²+4x−3≤0
   • Умножим на −1 (сменив знак): x²−4x+3≥0
   • Корни: x₁=1, x₂=3
   • Так как a=1>0, то решение: x∈(−∞;1] ∪ [3;+∞)
3. Пример 3расчёт

   Пример 3

   Решение

   • Неравенство x²+2x+5>0
   • Дискриминант D=4−20=−16<0, a=1>0, значит, трёхчлен всегда положителен, и решение — все действительные числа: x∈R
4. Пример 4расчёт

   Пример 4

   Решение

   • Неравенство x²−4x+4≥0
   • D=0, корень x₀=2
   • Трёхчлен равен нулю в точке 2 и положителен в остальных точках, поэтому решение — все числа: x∈R

• Квадратные неравенства помогают определить, когда мяч, брошенный вверх, находится выше заданной высоты — это задача из физики, которую решают в 9 классе.
• Метод интервалов был систематизирован французским математиком Рене Декартом, который также ввёл координатную плоскость.
• Если дискриминант отрицателен, то квадратный трёхчлен всегда положителен (при a>0) или всегда отрицателен (при a<0) — это свойство часто используется для доказательства неравенств.

• Квадратные уравнения (урок 44-45)
• Функция y=ax²+bx+c и её график (урок 40-43)
• Метод интервалов для рациональных неравенств (урок 47-48)
• Системы неравенств (урок 49-50)