Графическая интерпретация неравенств и систем неравенств с двумя переменными

Научиться изображать множество решений неравенства с двумя переменными и системы таких неравенств на координатной плоскости.

Графическая интерпретация неравенств — это мост между алгеброй и геометрией. Она используется в экономике для описания зон прибыли, в логистике — для областей допустимых маршрутов, в физике — для зон действия сил. Понимание областей помогает принимать решения: например, где строить объект, чтобы он удовлетворял всем условиям.

• Множество решений неравенства с двумя переменными — это область на координатной плоскости, ограниченная линией, которая задаётся соответствующим уравнением.
• Если неравенство строгое (>, <), граничная линия изображается пунктиром, так как точки на ней не являются решениями.
• Если неравенство нестрогое (≥, ≤), граничная линия сплошная, и точки на ней входят в множество решений.
• Для определения нужной полуплоскости достаточно проверить одну пробную точку, не лежащую на границе.
• Система неравенств с двумя переменными имеет решением пересечение областей, задаваемых каждым неравенством.
• Если пересечение областей пусто, система не имеет решений.
• Графический метод позволяет наглядно оценить количество и расположение решений системы.

Неравенство с двумя переменными

Выражение вида f(x; y) > 0, f(x; y) < 0, f(x; y) ≥ 0 или f(x; y) ≤ 0, где x и y — переменные, а f — некоторое выражение.

Решение неравенства с двумя переменными

Пара чисел (x; y), которая при подстановке в неравенство превращает его в верное числовое неравенство.

График неравенства с двумя переменными

Множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого неравенства.

Граничная линия

Линия, которая получается, если заменить знак неравенства на знак равенства. Она делит плоскость на две части — полуплоскости.

Полуплоскость

Одна из двух частей плоскости, на которые её делит прямая (или кривая). В одной из полуплоскостей неравенство выполняется, в другой — нет.

Система неравенств с двумя переменными

Несколько неравенств с двумя переменными, которые должны выполняться одновременно. Решение системы — это пара чисел, удовлетворяющая всем неравенствам.

• График линейного неравенства ax + by + c > 0 — это полуплоскость, границей которой является прямая ax + by + c = 0.
• Для нелинейных неравенств (например, y > x²) граница — кривая (парабола), и область может быть не полуплоскостью, а более сложной фигурой.
• Правило выбора границы: строгое неравенство — пунктир, нестрогое — сплошная линия.
• Пробная точка: если точка (0;0) не лежит на границе, её удобно использовать для проверки. Подставляем её координаты в неравенство: если верно — закрашиваем полуплоскость, содержащую эту точку, иначе — другую.
• Решение системы неравенств — это пересечение (общая часть) областей, задаваемых каждым неравенством.
• Если области не пересекаются, система не имеет решений (пустое множество).

1. Пример 1расчёт

   Неравенство y > 2x + 1

   Решение

   • строим прямую y = 2x + 1 пунктиром, берём точку (0;0): 0 > 1 — неверно, значит, закрашиваем полуплоскость выше прямой
2. Пример 2случай

   Неравенство x² + y² ≤ 9

   Пояснение

   • граница — окружность радиуса 3, сплошная линия
   • Решение — круг вместе с границей
3. Пример 3расчёт

   Система { y ≥ x, y ≤ -x + 4 }

   Решение

   • первое неравенство задаёт полуплоскость выше прямой y = x, второе — ниже прямой y = -x + 4
   • Пересечение — треугольник с вершинами (0;0), (2;2), (4;0)

• Метод областей использовал ещё Рене Декарт, когда придумывал координатную плоскость — он понял, что уравнения и неравенства можно «рисовать».
• В компьютерной графике и геоинформационных системах (например, в навигаторах) области допустимых значений задаются именно системами неравенств — так определяются зоны покрытия, запретные зоны и маршруты.
• Графическое решение неравенств — основа линейного программирования, с помощью которого в промышленности оптимизируют расходы и прибыль.

• Линейные неравенства с одной переменной
• Системы линейных уравнений с двумя переменными
• Квадратичная функция и её график
• Уравнение окружности