Контрольная работа по теме "Неравенства"

Научиться системно применять методы решения линейных, квадратных неравенств и их систем, а также понимать, как неравенства описывают реальные ограничения.

Неравенства — это язык, на котором мы говорим о пределах: от допустимых скоростей до бюджетных ограничений. Умение решать неравенства помогает принимать решения, сравнивать величины и анализировать условия задач.

• Неравенство — это математическое выражение, показывающее, что одна величина больше, меньше или не равна другой.
• Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно становится верным.
• Множество решений неравенства часто представляется в виде числового промежутка.
• Линейные неравенства решаются с помощью равносильных преобразований, аналогичных уравнениям, но с учётом смены знака при умножении на отрицательное число.
• Квадратные неравенства решаются методом интервалов, основанном на знаках квадратного трёхчлена.
• Система неравенств — это несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно; решением является пересечение их множеств.
• Неравенства широко используются для описания ограничений в реальных ситуациях.

Неравенство

Выражение, в котором две части соединены знаком сравнения: > (больше), < (меньше), ≥ (больше или равно), ≤ (меньше или равно).

Решение неравенства

Значение переменной, при подстановке которого неравенство становится верным числовым утверждением.

Числовой промежуток

Множество чисел, удовлетворяющих определённому условию, например, все числа от 2 до 5 включительно.

Линейное неравенство

Неравенство вида ax + b > 0 (или с другим знаком), где a и b — числа, a ≠ 0.

Квадратное неравенство

Неравенство вида ax² + bx + c > 0 (или с другим знаком), где a ≠ 0.

Система неравенств

Несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно; решение — общая часть их решений.

Метод интервалов

Способ решения неравенств, при котором числовая ось разбивается на интервалы корнями соответствующего уравнения, и определяется знак выражения на каждом интервале.

• При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Квадратное неравенство ax² + bx + c > 0 решается методом интервалов: сначала находят корни уравнения ax² + bx + c = 0, затем определяют знаки на промежутках.
• Система неравенств решается пересечением множеств решений каждого неравенства.
• Числовые промежутки бывают: открытые (a; b), закрытые [a; b], полуоткрытые [a; b) или (a; b], а также бесконечные (a; +∞), (−∞; b).
• Графически решение неравенства с одной переменной можно изобразить на координатной прямой.

1. Пример 1случай

   Пример линейного неравенства

   Пояснение

   • 2x - 3 > 5. Решая, получаем x > 4, то есть все числа больше 4
2. Пример 2расчёт

   Квадратное неравенство

   Решение

   • x² - 4 < 0. Корни уравнения x² - 4 = 0: x = -2 и x = 2. Метод интервалов даёт решение: -2 < x < 2
3. Пример 3случай

   Система неравенств

   Пояснение

   • x > 1 и x < 5. Решение — промежуток (1
   • 5), то есть все числа от 1 до 5, не включая границы
4. Пример 4случай

   В жизни

   Пояснение

   • чтобы купить билет в кино, нужно иметь не меньше 300 рублей (x ≥ 300)
   • Это неравенство описывает допустимую сумму денег

• Неравенства использовались ещё в древности: например, в папирусе Ахмеса (около 1550 г. до н.э.) встречаются задачи на сравнение величин.
• Знаки «>» и «<» были введены английским математиком Томасом Хэрриотом в 1631 году, а знаки «≥» и «≤» — Пьером Буге в 1734 году.
• В экономике неравенства описывают бюджетные ограничения, а в физике — допустимые диапазоны значений (например, скорость не может превышать скорость света).

• Квадратные уравнения
• Функции и их графики
• Числовые промежутки
• Рациональные неравенства