Математика · 9 класс · Математика ФГОС · урок 54 · только теория
Квадратичная функция, её график и свойства
Квадратичная функция — это функция вида y = ax² + bx + c, графиком которой является парабола. Мы научимся строить параболу, находить её вершину, ось симметрии, направление ветвей и использовать эти знания для решения уравнений и неравенств.
Чему учимся понимать
Научиться понимать, как выглядит и ведёт себя квадратичная функция, и уметь строить её график по ключевым точкам.
Зачем это нужно
Квадратичные зависимости встречаются повсюду: траектория полёта мяча, форма мостов, расчёт площадей, экономические модели. Понимание параболы помогает анализировать максимумы и минимумы в реальных ситуациях.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Графиком квадратичной функции всегда является парабола.
- Коэффициент a определяет направление ветвей: если a > 0 — вверх, если a < 0 — вниз.
- Вершина параболы — точка минимума (при a > 0) или максимума (при a < 0).
- Ось симметрии параболы проходит через вершину и параллельна оси OY.
- Нули функции — это точки пересечения графика с осью OX, их количество зависит от дискриминанта.
- Коэффициент c показывает точку пересечения параболы с осью OY.
- Квадратичную функцию можно представить в виде y = a(x - m)² + n, где (m; n) — координаты вершины.
Определения
- Квадратичная функция
- Функция вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.
- Парабола
- График квадратичной функции — кривая линия, симметричная относительно вертикальной прямой.
- Вершина параболы
- Точка параболы, в которой она достигает наибольшего или наименьшего значения.
- Ось симметрии параболы
- Вертикальная прямая, проходящая через вершину, относительно которой парабола симметрична.
- Нули функции
- Значения x, при которых y = 0, то есть точки пересечения графика с осью OX.
- Дискриминант
- Число D = b² - 4ac, которое определяет, сколько корней имеет квадратное уравнение ax² + bx + c = 0.
Ключевые факты и правила
- Координаты вершины параболы: x₀ = -b/(2a), y₀ = y(x₀) = c - b²/(4a).
- Ось симметрии: x = x₀.
- Если a > 0, ветви параболы направлены вверх; если a < 0 — вниз.
- Количество нулей функции: если D > 0 — два нуля, D = 0 — один нуль, D < 0 — нулей нет.
- Точка пересечения с осью OY: (0; c).
- При a > 0 функция убывает на (-∞; x₀) и возрастает на (x₀; +∞); при a < 0 — наоборот.
- Область значений: при a > 0 — [y₀; +∞), при a < 0 — (-∞; y₀].
Теория
1. Определяем коэффициенты a, b, c.
2. Находим координаты вершины по формуле x₀ = -b/(2a), затем y₀.
3. Определяем направление ветвей по знаку a.
4. Находим нули функции (если они есть) через дискриминант.
5. Отмечаем вершину, нули и точку пересечения с осью OY на координатной плоскости.
6. Строим параболу, используя симметрию относительно оси x = x₀.
Примеры
- Пример 1расчёт
Мяч, подброшенный вверх, движется по параболе
Решение
- высота h(t) = -5t² + 10t + 1, где t — время в секундах
- Пример 2случай
- Арка моста часто имеет форму параболы, чтобы выдерживать нагрузку
- Пример 3случай
- Прибыль компании может описываться квадратичной функцией, и её максимум находится в вершине параболы
- Пример 4случай
- Фонтан воды из трубы образует струю, которая тоже похожа на параболу
Интересно знать
- Форма параболы используется в архитектуре: например, мосты в виде параболы распределяют нагрузку равномерно.
- Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту (без учёта сопротивления воздуха), — это парабола.
- В оптике параболические зеркала собирают параллельные лучи в одной точке — фокусе, что используется в телескопах и спутниковых антеннах.
Связанные темы
- Квадратные уравнения
- Квадратные неравенства
- Свойства функций
- Графики функций