Математика · 9 класс · Математика ФГОС · урок 57 · только теория
Парабола, координаты вершины параболы, ось симметрии параболы
Парабола — это график квадратичной функции, одна из важнейших кривых в математике. Мы научимся находить её вершину и ось симметрии, чтобы быстро строить график и понимать свойства функции.
Чему учимся понимать
Научиться находить координаты вершины параболы и ось симметрии, а также понимать, как они влияют на график квадратичной функции.
Зачем это нужно
Парабола встречается повсюду: траектория мяча, форма антенн, линз, мостов. Умение находить вершину помогает предсказывать максимумы и минимумы (например, максимальную высоту полёта или оптимальную цену для максимальной прибыли).
Опорные понятия
Главные тезисы
- Графиком квадратичной функции y = ax² + bx + c является парабола.
- Вершина параболы — точка, где функция принимает наибольшее или наименьшее значение.
- Ось симметрии параболы — вертикальная прямая, проходящая через вершину.
- Коэффициент a определяет направление ветвей: если a > 0 — вверх, если a < 0 — вниз.
- Координаты вершины можно найти по формуле x₀ = -b/(2a), y₀ = y(x₀).
- Ось симметрии задаётся уравнением x = x₀.
- Парабола симметрична относительно своей оси: точки с одинаковыми y расположены на равных расстояниях от оси.
Определения
- Квадратичная функция
- Функция вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.
- Парабола
- График квадратичной функции; кривая, состоящая из двух симметричных ветвей.
- Вершина параболы
- Точка параболы, в которой она достигает минимума (если ветви вверх) или максимума (если ветви вниз).
- Ось симметрии параболы
- Вертикальная прямая, которая делит параболу на две зеркально равные части; проходит через вершину.
- Ветви параболы
- Две части параболы, расходящиеся от вершины вверх или вниз в зависимости от знака коэффициента a.
Ключевые факты и правила
- Формула вершины: x₀ = -b/(2a), y₀ = f(x₀) = c - b²/(4a).
- Ось симметрии: x = -b/(2a).
- Если a > 0, ветви параболы направлены вверх, вершина — точка минимума.
- Если a < 0, ветви направлены вниз, вершина — точка максимума.
- Точка пересечения с осью OY: (0; c).
- Количество корней уравнения ax² + bx + c = 0 зависит от дискриминанта D = b² - 4ac: если D > 0 — два корня, D = 0 — один корень (вершина лежит на оси OX), D < 0 — корней нет.
Теория
1. Определи коэффициенты a, b, c в уравнении y = ax² + bx + c.
2. Вычисли x₀ = -b/(2a) — это абсцисса вершины и уравнение оси симметрии.
3. Подставь x₀ в функцию, чтобы найти y₀ — ординату вершины.
4. Отметь вершину на координатной плоскости.
5. Определи направление ветвей по знаку a.
6. Для построения графика найди несколько точек, симметричных относительно оси, и соедини их плавной кривой.
Примеры
- Пример 1случай
Мяч, брошенный вверх, поднимается и падает по параболе; его максимальная высота
Пояснение
- это вершина параболы
- Пример 2случай
Струя воды из фонтана образует параболу
Пояснение
- вода поднимается, достигает вершины и опускается
- Пример 3случай
- Антенна спутниковой тарелки имеет форму параболоида, чтобы собирать сигнал в одной точке (фокусе)
Интересно знать
- Форма параболы используется в конструкции прожекторов и автомобильных фар: отражатель в форме параболоида собирает лучи в фокусе.
- Траектория полёта мяча, камня или пули (без учёта сопротивления воздуха) — это парабола.
- Мост Золотые Ворота в Сан-Франциско имеет подвесные тросы, которые провисают по форме параболы.
Связанные темы
- Квадратные уравнения
- Квадратные неравенства
- Свойства функций
- Графики функций