Графики функций: y = kx, y = kx + b, y=k/x, y=x³, y=vx, y=|x|

Научиться узнавать и описывать графики шести базовых функций, понимать, как коэффициенты в формуле влияют на вид графика.

Эти функции — «кирпичики» математического моделирования: линейная описывает равномерное движение и тарифы, обратная пропорциональность — зависимость времени от скорости, квадратный корень — физические законы, модуль — отклонение от нормы. Понимание графиков помогает визуализировать любую зависимость и предсказывать её поведение.

• График функции — это множество всех точек координатной плоскости, у которых абсцисса — значение аргумента, а ордината — соответствующее значение функции.
• Прямая пропорциональность y = kx — частный случай линейной функции при b = 0, её график всегда проходит через начало координат.
• Коэффициент k в линейной функции определяет угол наклона прямой к оси Ox: при k > 0 функция возрастает, при k < 0 — убывает.
• Свободный член b в y = kx + b показывает, в какой точке прямая пересекает ось Oy.
• График обратной пропорциональности y = k/x — гипербола, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.
• Кубическая парабола y = x³ возрастает на всей числовой прямой и проходит через начало координат.
• Функция y = √x определена только для неотрицательных x, её график — ветвь параболы, лежащая в первой координатной четверти.
• График модуля y = |x| состоит из двух лучей, исходящих из начала координат, и имеет ось симметрии — ось Oy.

Линейная функция

Функция вида y = kx + b, где k и b — числа. Её график — прямая линия.

Прямая пропорциональность

Функция y = kx, где k ≠ 0. График — прямая, проходящая через начало координат.

Обратная пропорциональность

Функция y = k/x, где k ≠ 0. График — гипербола, состоящая из двух ветвей.

Кубическая парабола

График функции y = x³, имеющий форму плавной S-образной кривой, проходящей через начало координат.

Функция квадратного корня

Функция y = √x, определённая для x ≥ 0. График — ветвь параболы, направленная вправо.

Модуль числа

Расстояние от числа до нуля на числовой прямой. Для x ≥ 0 |x| = x, для x < 0 |x| = -x.

• Для построения графика линейной функции достаточно двух точек, например, точек пересечения с осями координат.
• Если k > 0, линейная функция возрастает; если k < 0 — убывает; если k = 0, график — горизонтальная прямая y = b.
• Гипербола y = k/x не пересекает оси координат, но приближается к ним (оси являются асимптотами).
• Кубическая парабола y = x³ проходит через точки (-2; -8), (-1; -1), (0; 0), (1; 1), (2; 8).
• Функция y = √x возрастает на всей области определения, её график проходит через точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3).
• График y = |x| совпадает с y = x при x ≥ 0 и с y = -x при x < 0, образуя угол с вершиной в начале координат.

1. Пример 1расчёт
   • Если автомобиль движется со скоростью 60 км/ч
   • то пройденный путь S = 60t — это прямая пропорциональность, график которой — прямая, проходящая через начало координат
2. Пример 2расчёт

   Тариф за мобильную связь

   Решение

   • абонентская плата 200 руб. плюс 1,5 руб. за минуту разговора
   • Стоимость C = 1,5t + 200 — линейная функция, где b = 200 — точка пересечения с осью Oy
3. Пример 3случай

   Чтобы проехать 120 км, время в пути t = 120/v

   Пояснение

   • обратная пропорциональность: чем больше скорость, тем меньше время
4. Пример 4расчёт

   Зависимость стороны квадрата от его площади

   Решение

   • a = √S — функция квадратного корня
   • Например, для площади 25 м² сторона равна 5 м
5. Пример 5расчёт

   Расстояние от числа до нуля

   Решение

   • |−7| = 7, |3| = 3
   • График модуля показывает, что расстояние всегда неотрицательно

• График обратной пропорциональности — гипербола — используется в физике для описания закона Бойля–Мариотта: при постоянной температуре давление газа обратно пропорционально его объёму.
• Кубическая парабола встречается в архитектуре: форма некоторых арок и мостов повторяет её очертания благодаря оптимальному распределению нагрузки.
• Функция модуля описывает, например, отклонение температуры от нормы: неважно, холоднее или теплее, важно расстояние до нуля.

• Функции и их графики (7 класс)
• Линейная функция и её свойства (7 класс)
• Квадратичная функция y = ax² + bx + c (9 класс)
• Преобразования графиков функций (параллельный перенос, растяжение)