Контрольная работа по теме "Функции"

Научиться понимать и описывать свойства функций (область определения, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание/убывание) и различать основные виды функций по их графикам.

Функции — это математическая модель окружающего мира: от прогноза погоды до расчёта процентов по вкладу. Понимание свойств функций помогает принимать решения на основе данных, видеть закономерности и прогнозировать результаты.

• Функция — это правило, по которому каждому значению аргумента (x) соответствует единственное значение функции (y).
• График функции — это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых — значения аргумента, а ординаты — соответствующие значения функции.
• Область определения — это все допустимые значения аргумента, при которых функция имеет смысл.
• Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю (график пересекает ось Ox).
• Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна).
• Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; убывает — если меньшее.
• Квадратичная функция y = ax² + bx + c (a ≠ 0) имеет график — параболу, ветви которой направлены вверх при a > 0 и вниз при a < 0.
• Степенная функция y = xⁿ (n — натуральное число) при чётном n имеет график, симметричный относительно оси Oy, а при нечётном — относительно начала координат.

Функция

Правило, по которому каждому значению переменной x (аргументу) ставится в соответствие единственное значение переменной y (функции).

Область определения функции

Множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл (можно вычислить её значение).

Область значений функции

Множество всех значений, которые принимает функция при всех допустимых значениях аргумента.

График функции

Множество точек на координатной плоскости, у которых абсцисса — значение аргумента, а ордината — соответствующее значение функции.

Нули функции

Значения аргумента, при которых функция равна нулю (график пересекает ось Ox).

Промежутки знакопостоянства

Интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.

Возрастающая функция

Функция, у которой большему значению аргумента соответствует большее значение функции (график идёт вверх).

Убывающая функция

Функция, у которой большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (график идёт вниз).

• Формула линейной функции: y = kx + b. График — прямая. При k > 0 функция возрастает, при k < 0 — убывает.
• Формула квадратичной функции: y = ax² + bx + c (a ≠ 0). График — парабола. Вершина параболы имеет координаты x₀ = -b/(2a), y₀ = y(x₀).
• Формула обратной пропорциональности: y = k/x (k ≠ 0). График — гипербола, состоящая из двух ветвей.
• Степенная функция y = xⁿ при чётном n — чётная функция (график симметричен относительно оси Oy), при нечётном n — нечётная (график симметричен относительно начала координат).
• Область определения функции y = √x — x ≥ 0, а y = 1/x — все x ≠ 0.
• Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение f(x) = 0.
• Промежутки знакопостоянства определяются по знаку функции на каждом интервале, на которые нули разбивают область определения.

1. Пример 1расчёт

   Линейная функция

   Решение

   • стоимость поездки на такси y = 50 + 20x, где x — количество километров
   • График — прямая, показывающая, как растёт цена с расстоянием
2. Пример 2расчёт

   Квадратичная функция

   Решение

   • зависимость высоты мяча от времени при броске вверх: h(t) = -5t² + 20t
   • График — парабола, вершина которой показывает максимальную высоту подъёма
3. Пример 3расчёт

   Обратная пропорциональность

   Решение

   • время t, за которое автомобиль проедет 100 км, зависит от скорости v: t = 100/v
   • График — гипербола: чем больше скорость, тем меньше время
4. Пример 4расчёт

   Нули функции: для функции y = x² - 4 нули

   Решение

   • x = -2 и x = 2
   • так как при этих значениях y = 0. График пересекает ось Ox в этих точках

• График квадратичной функции — парабола — описывает траекторию полёта мяча, струи фонтана или движение снаряда под действием силы тяжести.
• Гипербола (график обратной пропорциональности) встречается в физике: например, зависимость давления газа от его объёма при постоянной температуре (закон Бойля–Мариотта).
• График функции y = sin x (изучается позже) описывает колебания маятника, звуковые волны и переменный электрический ток.

• Квадратные уравнения
• Неравенства
• Прогрессии
• Элементы статистики и вероятности