Задание последовательности рекуррентной формулой и формулой n-го члена

Научиться понимать и использовать рекуррентные формулы и формулы n-го члена для описания последовательностей.

Последовательности встречаются повсюду: от банковских процентов и роста популяций до алгоритмов в программировании. Умение задать последовательность разными способами помогает выбирать самый удобный для конкретной задачи и предсказывать поведение системы.

• Последовательность можно задать перечислением, формулой n-го члена или рекуррентной формулой.
• Рекуррентная формула выражает каждый следующий член через один или несколько предыдущих, поэтому обязательно нужны начальные условия.
• Формула n-го члена позволяет вычислить любой член последовательности, зная только его номер, без вычисления всех предыдущих.
• Для арифметической прогрессии рекуррентная формула: aₙ₊₁ = aₙ + d, а формула n-го члена: aₙ = a₁ + (n-1)d.
• Для геометрической прогрессии рекуррентная формула: bₙ₊₁ = bₙ · q, а формула n-го члена: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.
• Переход от рекуррентной формулы к формуле n-го члена часто требует выявления закономерности или использования известных свойств прогрессий.
• Рекуррентные формулы удобны для вычислений на компьютере, а формулы n-го члена — для анализа свойств последовательности.

Числовая последовательность

Функция, заданная на множестве натуральных чисел, значения которой — числа. Каждому номеру n соответствует член последовательности aₙ.

Рекуррентная формула

Способ задания последовательности, при котором каждый следующий член выражается через один или несколько предыдущих членов. Например, aₙ₊₁ = aₙ + 2.

Формула n-го члена

Формула, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру n, не зная предыдущих членов. Например, aₙ = 2n + 1.

Начальные условия

Значения первых членов последовательности, необходимые для вычисления последующих членов по рекуррентной формуле. Например, a₁ = 3.

Арифметическая прогрессия

Последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d (разности).

Геометрическая прогрессия

Последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число q (знаменатель).

• Рекуррентная формула всегда требует указания начальных условий, иначе последовательность не определена однозначно.
• Формула n-го члена — это явное задание последовательности, она позволяет сразу найти, например, 100-й член, не вычисляя 99 предыдущих.
• Для арифметической прогрессии: aₙ = a₁ + (n-1)d, где a₁ — первый член, d — разность.
• Для геометрической прогрессии: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹, где b₁ — первый член, q — знаменатель.
• Любая арифметическая прогрессия может быть задана рекуррентно: aₙ₊₁ = aₙ + d, а геометрическая: bₙ₊₁ = bₙ · q.
• Существуют последовательности, которые задаются только рекуррентно, например, числа Фибоначчи: F₁ = 1, F₂ = 1, Fₙ₊₂ = Fₙ₊₁ + Fₙ.

1. Пример 1расчёт

   Пример рекуррентной формулы

   Решение

   • a₁ = 2, aₙ₊₁ = aₙ + 3
   • Тогда a₂ = 5, a₃ = 8, a₄ = 11 — это арифметическая прогрессия с разностью 3
2. Пример 2расчёт

   Пример формулы n-го члена

   Решение

   • aₙ = 2n + 1. Тогда a₁ = 3, a₂ = 5, a₃ = 7 — нечетные числа
3. Пример 3расчёт

   Числа Фибоначчи

   Решение

   • F₁ = 1, F₂ = 1, Fₙ₊₂ = Fₙ₊₁ + Fₙ
   • Получаем 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.
4. Пример 4расчёт

   Банковский вклад

   Решение

   • если положить 1000 рублей под 10% годовых, то сумма на счету через n лет задается рекуррентно: S₁ = 1000, Sₙ₊₁ = Sₙ · 1.1, а формула n-го члена: Sₙ = 1000 · 1.1ⁿ⁻¹

• Числа Фибоначчи, задаваемые рекуррентной формулой, встречаются в природе: в расположении листьев, семян подсолнечника, раковин улиток.
• Рекуррентные формулы лежат в основе многих алгоритмов, например, быстрого возведения в степень или вычисления факториала.
• Для чисел Фибоначчи существует формула n-го члена (формула Бине), но она использует иррациональные числа, хотя сами члены — целые.

• Арифметическая прогрессия
• Геометрическая прогрессия
• Функции и их графики
• Степень с натуральным показателем