Арифметическая и геометрическая прогрессии

Научиться понимать, как устроены арифметическая и геометрическая прогрессии, и уметь находить их члены и суммы по формулам.

Прогрессии встречаются повсюду: от планирования личных финансов (проценты по вкладам, кредиты) до биологических процессов (рост популяций) и физики (равноускоренное движение). Понимание прогрессий развивает математическое мышление и помогает анализировать закономерности в реальных данных.

• Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа к предыдущему.
• Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число (не равное нулю).
• Разность арифметической прогрессии может быть положительной, отрицательной или нулевой, что определяет возрастание, убывание или постоянство последовательности.
• Знаменатель геометрической прогрессии не равен нулю, а если он отрицателен, члены прогрессии чередуют знаки.
• Формула n-го члена арифметической прогрессии: aₙ = a₁ + (n-1)d.
• Формула n-го члена геометрической прогрессии: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.
• Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2.
• Сумма первых n членов геометрической прогрессии при q ≠ 1 вычисляется по формуле Sₙ = b₁ · (qⁿ - 1) / (q - 1).

Числовая последовательность

Это ряд чисел, расположенных в определённом порядке, где каждое число имеет свой номер (первый, второй, третий и так далее).

Арифметическая прогрессия

Последовательность, в которой разность между любыми двумя соседними членами постоянна. Например: 2, 5, 8, 11, ... (каждый раз прибавляем 3).

Разность арифметической прогрессии (d)

Число, которое прибавляют к каждому члену, чтобы получить следующий. Вычисляется как d = aₙ₊₁ - aₙ.

Геометрическая прогрессия

Последовательность, в которой отношение каждого члена к предыдущему постоянно. Например: 3, 6, 12, 24, ... (каждый раз умножаем на 2).

Знаменатель геометрической прогрессии (q)

Число, на которое умножают каждый член, чтобы получить следующий. Вычисляется как q = bₙ₊₁ / bₙ, причём q ≠ 0.

Формула n-го члена

Выражение, позволяющее найти любой член прогрессии по его номеру, не перебирая все предыдущие члены.

• В арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2.
• В геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних членов: bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ (при положительных членах).
• Сумма первых n членов арифметической прогрессии также вычисляется по формуле Sₙ = (2a₁ + d(n-1)) · n / 2.
• Если в геометрической прогрессии q = 1, то все члены равны первому, и сумма Sₙ = n · b₁.
• Если |q| < 1, то геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, и её сумма (при n → ∞) равна b₁ / (1 - q).
• Арифметическая прогрессия — это линейная функция от номера члена: aₙ = d·n + (a₁ - d).
• Геометрическая прогрессия — это показательная функция от номера члена: bₙ = (b₁/q) · qⁿ.

1. Пример 1случай

   Лестница

   Пояснение

   • высота каждой ступеньки одинакова, поэтому номера ступенек и их высоты образуют арифметическую прогрессию
2. Пример 2случай

   Радиоактивный распад

   Пояснение

   • количество вещества уменьшается в одинаковое число раз за равные промежутки времени — это геометрическая прогрессия
3. Пример 3случай

   Банковский вклад с капитализацией процентов

   Пояснение

   • каждый год сумма увеличивается на один и тот же процент, то есть растёт по геометрической прогрессии
4. Пример 4случай

   Спортсмен пробегает в первый день 3 км, а каждый следующий день на 0,5 км больше

   Пояснение

   • это арифметическая прогрессия

• Легенда о шахматах: изобретатель попросил в награду зёрна, количество которых удваивается на каждой клетке (1, 2, 4, 8, ...). Это геометрическая прогрессия с q=2, и сумма зёрен оказалась больше, чем весь урожай на планете.
• Бактерии размножаются делением надвое, поэтому их количество растёт по геометрической прогрессии: 1, 2, 4, 8, 16, ... — это классический пример.
• Арифметическая прогрессия используется в музыке: частоты нот в равномерно темперированном строе образуют геометрическую прогрессию, а длины струн — арифметическую.

• Последовательности и их свойства
• Функции и их графики (линейная и показательная)
• Проценты и сложные проценты
• Степени и корни