Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов

Научиться выводить и применять формулы n-го члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий.

Прогрессии встречаются повсюду: в банковских процентах (геометрическая), в равномерном движении (арифметическая), в природе (рост популяций, распад радиоактивных веществ). Понимание формул позволяет прогнозировать и вычислять значения без длительных переборов.

• Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа d (разности) к предыдущему.
• Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число q (знаменатель), не равное нулю.
• Формула n-го члена арифметической прогрессии: aₙ = a₁ + d(n-1) — позволяет найти любой член, зная первый и разность.
• Формула n-го члена геометрической прогрессии: bₙ = b₁ * q^(n-1) — позволяет найти любой член, зная первый и знаменатель.
• Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2 или Sₙ = (2a₁ + d(n-1)) * n / 2.
• Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле Sₙ = b₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1) при q ≠ 1.
• Каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому соседних членов: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2.
• Каждый член геометрической прогрессии (кроме первого и последнего) равен среднему геометрическому соседних членов: bₙ² = bₙ₋₁ * bₙ₊₁.

Арифметическая прогрессия

Последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя соседними членами постоянна. Эта разность называется разностью прогрессии d.

Геометрическая прогрессия

Последовательность чисел, в которой отношение любого члена к предыдущему постоянно. Это отношение называется знаменателем прогрессии q (q ≠ 0).

Разность арифметической прогрессии (d)

Число, которое прибавляют к каждому члену, чтобы получить следующий. Может быть положительным, отрицательным или нулём.

Знаменатель геометрической прогрессии (q)

Число, на которое умножают каждый член, чтобы получить следующий. Не может быть нулём, но может быть отрицательным (тогда знаки членов чередуются).

Формула n-го члена

Выражение, которое позволяет вычислить член прогрессии с номером n, не выписывая все предыдущие.

Сумма первых n членов

Результат сложения всех членов прогрессии от первого до n-го включительно.

• Формула n-го члена арифметической прогрессии: aₙ = a₁ + d(n-1). Пример: для a₁ = 3, d = 2, a₅ = 3 + 2*4 = 11.
• Формула n-го члена геометрической прогрессии: bₙ = b₁ * q^(n-1). Пример: для b₁ = 2, q = 3, b₄ = 2 * 3³ = 54.
• Сумма первых n членов арифметической прогрессии: Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2. Эта формула похожа на вычисление площади трапеции: полусумма оснований на высоту.
• Сумма первых n членов геометрической прогрессии: Sₙ = b₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1) при q ≠ 1. Если q = 1, то Sₙ = n * b₁.
• Характеристическое свойство арифметической прогрессии: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 для n ≥ 2.
• Характеристическое свойство геометрической прогрессии: bₙ² = bₙ₋₁ * bₙ₊₁ для n ≥ 2 (при положительных членах).
• Если |q| < 1, то сумма бесконечной геометрической прогрессии существует и равна S = b₁ / (1 - q). Это используется в математическом анализе и физике.
• В арифметической прогрессии сумма членов, равноудалённых от концов, одинакова: a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = ...

1. Пример 1расчёт

   Банковский вклад: если положить 1000 рублей под 10% годовых, то через год будет 1100, через два — 1210 и т.д

   Решение

   • геометрическая прогрессия с b₁ = 1000
   • q = 1.1
   • Формула n-го члена позволяет узнать сумму на счёте через n лет
2. Пример 2расчёт

   Ступеньки лестницы

   Решение

   • если высота каждой ступеньки одинакова, то высота подъёма после каждой ступеньки образует арифметическую прогрессию
   • Например, 15 см, 30 см, 45 см... — разность d = 15 см
3. Пример 3случай

   Радиоактивный распад

   Пояснение

   • количество нераспавшихся атомов уменьшается в геометрической прогрессии
   • Если за период полураспада остаётся половина, то через n периодов останется b₁ * (1/2)ⁿ
4. Пример 4случай

   Спортивная тренировка

   Пояснение

   • если каждый день пробегать на 500 метров больше, чем в предыдущий, то дистанции образуют арифметическую прогрессию
   • Сумма первых n членов покажет общий километраж за n дней

• Легенда о шахматах: когда изобретатель шахмат попросил у правителя награду в виде зёрен на клетки доски (1, 2, 4, 8...), оказалось, что сумма всех зёрен (2⁶⁴ - 1) превышает весь урожай пшеницы на планете за многие годы. Это пример геометрической прогрессии с q = 2.
• Арифметическая прогрессия встречается в музыке: частоты нот в равномерно темперированном строе образуют геометрическую прогрессию, а длины струн — арифметическую.
• В физике свободное падение тел описывается арифметической прогрессией: путь за каждую секунду увеличивается на одну и ту же величину (g/2).

• Последовательности и их свойства (урок 73)
• Решение задач на прогрессии (урок 75)
• Степень с натуральным показателем (для геометрической прогрессии)
• Функции и графики (связь с линейной и показательной функциями)