Линейный и экспоненциальный рост

Научиться различать линейный и экспоненциальный рост, понимать их формулы и свойства.

В жизни мы постоянно сталкиваемся с ростом: цены, зарплаты, население, вирусные ролики. Линейный рост предсказуем и медленный, экспоненциальный — обманчиво медленный в начале и взрывной в конце. Понимание этого помогает принимать решения: например, почему важно рано начать копить на пенсию или почему эпидемию нужно останавливать как можно раньше.

• Линейный рост — это изменение на постоянную величину за равные промежутки времени.
• Экспоненциальный рост — это изменение на постоянный процент (или в постоянное число раз) за равные промежутки времени.
• Формула линейного роста: y = kx + b, где k — скорость роста (прирост за единицу времени).
• Формула экспоненциального роста: y = a * b^x, где a — начальное значение, b — коэффициент роста (b > 1).
• При экспоненциальном росте величина увеличивается в геометрической прогрессии, а при линейном — в арифметической.
• Экспоненциальный рост быстро обгоняет линейный, даже если начинается с меньших значений.
• График линейного роста — прямая линия, график экспоненциального — круто поднимающаяся вверх кривая.
• Экспоненциальный рост характерен для процессов, где результат влияет на дальнейший рост (например, проценты на проценты).

Линейный рост

Изменение величины, при котором за каждый равный промежуток времени она увеличивается на одно и то же число. Например, если каждый день добавляется 5 рублей, это линейный рост.

Экспоненциальный рост

Изменение величины, при котором за каждый равный промежуток времени она увеличивается в одно и то же число раз. Например, если каждый день сумма удваивается, это экспоненциальный рост.

Коэффициент роста

Число, показывающее, во сколько раз увеличивается величина за один шаг (промежуток времени). Если коэффициент больше 1 — рост, если меньше 1 — убывание.

Арифметическая прогрессия

Последовательность чисел, в которой каждое следующее получается прибавлением одного и того же числа (разности). Пример: 2, 5, 8, 11 — разность 3.

Геометрическая прогрессия

Последовательность чисел, в которой каждое следующее получается умножением на одно и то же число (знаменатель). Пример: 2, 6, 18, 54 — знаменатель 3.

• Линейный рост описывается формулой y = kx + b, где k — постоянный прирост, b — начальное значение.
• Экспоненциальный рост описывается формулой y = a * b^x, где a — начальное значение, b — коэффициент роста (b > 1), x — число шагов.
• Если величина растёт на p% за период, то коэффициент роста b = 1 + p/100.
• График линейной функции — прямая, график показательной функции — экспонента (кривая, которая сначала пологая, потом резко уходит вверх).
• При экспоненциальном росте время удвоения постоянно: если за 1 час количество удвоилось, то через 2 часа оно будет в 4 раза больше, через 3 — в 8 раз.
• Сравнение: линейный рост за 10 шагов с приростом 10 даст 100, а экспоненциальный с удвоением (b=2) даст 1024 (если начать с 1).

1. Пример 1случай
   • Если вы копите деньги, откладывая по 1000 рублей в месяц, это линейный рост: через год будет 12 000 рублей
2. Пример 2случай
   • Если вы положили 10 000 рублей в банк под 10% годовых, то через год будет 11 000, через два — 12 100, через три — 13 310
   • Это экспоненциальный рост, потому что проценты начисляются на проценты
3. Пример 3случай
   • Число подписчиков в соцсети, если каждый подписчик приводит ещё одного друга, удваивается каждый день: 1, 2, 4, 8, 16.
   • Это экспоненциальный рост
4. Пример 4случай

   Скорость распространения слухов

   Пояснение

   • если один человек рассказал двум, те рассказали ещё двум и т.д., то число знающих растёт экспоненциально

• Легенда о шахматах: если на первую клетку положить 1 зерно, на вторую — 2, на третью — 4 и так далее, то на 64-й клетке окажется 2^63 зёрен — больше, чем собрано пшеницы за всю историю человечества. Это пример экспоненциального роста.
• Бумажный лист, сложенный пополам 42 раза, имел бы толщину, превышающую расстояние от Земли до Луны (около 384 000 км). Это потому, что толщина растёт экспоненциально: каждый раз удваивается.
• Вклад в банке под 10% годовых удваивается примерно за 7 лет (правило 72: 72 / 10 ≈ 7,2 года). Это следствие экспоненциального роста.

• Арифметическая и геометрическая прогрессии (9 класс)
• Показательная функция и её график (10 класс)
• Проценты и сложные проценты (6-7 класс)
• Степени и корни (8 класс)