Сложные проценты

Научиться понимать, как работает формула сложных процентов и применять её для расчёта будущей стоимости вклада или долга.

Сложные проценты лежат в основе банковских вкладов, кредитов, инвестиций и даже роста населения. Понимание этой темы помогает принимать финансовые решения и видеть, как «работают» деньги.

• Сложные проценты отличаются от простых тем, что проценты начисляются на уже накопленную сумму, а не только на первоначальную.
• Формула сложных процентов: A = P * (1 + r/n)^(n*t), где A — итоговая сумма, P — начальный капитал, r — годовая ставка (в долях), n — число начислений в год, t — число лет.
• Чем чаще начисляются проценты (больше n), тем больше итоговая сумма при той же годовой ставке.
• При n стремящемся к бесконечности (непрерывное начисление) используется формула A = P * e^(r*t), где e ≈ 2.71828.
• Сложные проценты приводят к экспоненциальному росту, в отличие от линейного роста простых процентов.
• Правило 72: чтобы оценить, за сколько лет вклад удвоится, нужно разделить 72 на годовую процентную ставку (в процентах).

Сложные проценты

Проценты, которые начисляются не только на первоначальную сумму, но и на проценты, накопленные за предыдущие периоды.

Капитализация процентов

Присоединение начисленных процентов к основной сумме вклада, после чего они сами начинают приносить проценты.

Годовая процентная ставка

Процент от суммы, который начисляется за год, обычно выражается в процентах годовых.

Период начисления

Промежуток времени (например, месяц, квартал, год), через который проценты прибавляются к сумме вклада.

Будущая стоимость

Сумма, которую получит вкладчик через определённое время с учётом начисленных сложных процентов.

• Формула сложных процентов: A = P * (1 + r/n)^(n*t). Если проценты начисляются раз в год, то A = P * (1 + r)^t.
• При одной и той же годовой ставке ежемесячная капитализация даёт большую итоговую сумму, чем ежегодная.
• Сложные проценты могут работать как на пользу (рост вклада), так и во вред (рост долга по кредиту).
• Правило 72: время удвоения ≈ 72 / (годовая ставка в %). Например, при ставке 6% вклад удвоится примерно за 12 лет.
• Эффективная годовая ставка — это реальный годовой рост с учётом капитализации. Она всегда выше номинальной, если начисление происходит чаще, чем раз в год.

1. Пример 1случай
   • Вклад 100 000 рублей под 10% годовых с ежегодной капитализацией: через 2 года сумма составит 121 000 рублей, а не 120 000, как было бы с простыми процентами
2. Пример 2случай
   • Если взять кредит 1 000 000 рублей под 20% годовых на 5 лет без промежуточных платежей, долг вырастет до 2 488 320 рублей — более чем в два раза
3. Пример 3случай
   • Популяция кроликов растёт примерно по экспоненциальному закону: если в начале было 2 кролика, и каждый год их число удваивается, то через 10 лет их будет 2048 — это пример сложных процентов в природе

• Альберт Эйнштейн, по легенде, называл сложные проценты «восьмым чудом света» и говорил: «Кто понимает их — зарабатывает, кто не понимает — платит».
• Если бы Иисус Христос положил 1 копейку на вклад под 5% годовых в момент своего рождения, к 2000 году эта копейка превратилась бы в сумму, многократно превышающую массу Земли в золоте.
• Правило 72 работает только для умеренных ставок (от 1% до 20%), но для быстрых оценок оно очень удобно.

• Проценты (6 класс)
• Арифметическая и геометрическая прогрессии (9 класс)
• Показательная функция (10-11 класс)