Повторение, обобщение и систематизация знаний. Запись, сравнение, действия с действительными числами, числовая прямая

Научиться уверенно ориентироваться в мире действительных чисел: понимать их структуру, правильно сравнивать и выполнять арифметические операции, а также видеть их место на числовой прямой.

Действительные числа — это язык, на котором говорит наука и техника. Без понимания того, как устроены числа, невозможно решать уравнения, строить графики, понимать физические законы или даже рассчитывать бюджет. Числовая прямая — это наглядная модель, которая помогает мыслить абстрактно и решать практические задачи.

• Действительные числа включают в себя все числа, которые можно представить на числовой прямой: рациональные (целые и дробные) и иррациональные.
• Каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой, и наоборот — каждой точке соответствует единственное число.
• Сравнение чисел основано на их расположении на числовой прямой: число, расположенное правее, всегда больше.
• Арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) подчиняются определенным законам, которые справедливы для всех действительных чисел.
• Модуль числа — это расстояние от точки, изображающей число, до начала отсчета на числовой прямой; модуль всегда неотрицателен.
• Для упрощения записи очень больших и очень малых чисел используется стандартный вид числа: a * 10^n, где 1 ≤ |a| < 10.
• При выполнении вычислений с иррациональными числами часто используют их приближенные значения, округленные до нужной точности.

Действительные числа

Объединение рациональных и иррациональных чисел. Это все числа, которые можно изобразить точками на числовой прямой.

Рациональные числа

Числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. К ним относятся целые числа и конечные или бесконечные периодические десятичные дроби.

Иррациональные числа

Числа, которые нельзя представить в виде дроби m/n. Они записываются в виде бесконечных непериодических десятичных дробей (например, √2, π).

Числовая прямая

Прямая, на которой выбраны начало отсчета (точка 0), единичный отрезок и положительное направление. Каждой точке на ней соответствует действительное число.

Модуль числа

Расстояние от данной точки числовой прямой до начала отсчета. Модуль числа a обозначается |a| и всегда является неотрицательным числом.

Стандартный вид числа

Запись числа в виде a * 10^n, где 1 ≤ |a| < 10, а n — целое число. Используется для компактной записи очень больших или очень малых чисел.

• Свойства сложения и умножения: переместительное (a + b = b + a, a * b = b * a), сочетательное ((a + b) + c = a + (b + c), (a * b) * c = a * (b * c)), распределительное (a * (b + c) = a * b + a * c).
• Правила сравнения: из двух чисел больше то, которое на числовой прямой расположено правее. Для отрицательных чисел: -5 < -2, так как -5 лежит левее.
• Модуль числа: |a| = a, если a ≥ 0, и |a| = -a, если a < 0. Например, |7| = 7, |-7| = 7.
• При сложении чисел с разными знаками, из большего модуля вычитают меньший и ставят знак числа с большим модулем.
• При умножении (делении) чисел с одинаковыми знаками результат положителен, с разными — отрицателен.
• Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Рациональные числа — это периодические дроби, иррациональные — непериодические.
• Стандартный вид числа: например, 5 000 000 = 5 * 10^6, 0,00032 = 3,2 * 10^-4.

1. Пример 1случай

   Сравнение чисел

   Пояснение

   • -3,5 < -2,1, потому что на числовой прямой -3,5 находится левее, чем -2,1
2. Пример 2расчёт

   Действия с числами

   Решение

   • (-7) + 5 = -2 (из большего модуля 7 вычитаем меньший 5, ставим знак минус)
3. Пример 3расчёт

   Модуль числа

   Решение

   • |−12| = 12, |0| = 0, |8| = 8
4. Пример 4случай

   Стандартный вид

   Пояснение

   • масса Земли ≈ 5,97 * 10^24 кг, масса электрона ≈ 9,11 * 10^-31 кг
5. Пример 5случай

   Числовая прямая

   Пояснение

   • точка с координатой -1,5 находится между -2 и -1, а точка с координатой 2,75 — между 2 и 3

• Число π — самое известное иррациональное число. Его десятичная запись бесконечна и непериодична, но в вычислениях мы используем лишь приближение 3,14 или 22/7.
• Между любыми двумя различными действительными числами на числовой прямой находится бесконечно много других действительных чисел. Это свойство называется плотностью множества действительных чисел.
• Древние греки были потрясены, когда обнаружили, что диагональ квадрата со стороной 1 (то есть √2) не является рациональным числом. Это открытие разрушило их представление о том, что все числа можно выразить отношением целых.

• Квадратные корни
• Степени с целым показателем
• Функции и их графики
• Уравнения и неравенства
• Прогрессии