Повторение, обобщение и систематизация знаний. Проценты, отношения, пропорции

Научиться свободно переходить от процентов к долям и отношениям, составлять и решать пропорции для любых практических ситуаций.

Проценты и пропорции — это язык финансов (вклады, кредиты, скидки), кулинарии (рецепты), географии (масштаб карт), строительства (смеси) и даже спортивной статистики. Понимание этих отношений помогает принимать правильные решения в повседневной жизни.

• Процент — это сотая часть числа, поэтому 1% = 0.01, а 100% — это всё число.
• Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно составляет от другого.
• Пропорция — это равенство двух отношений, и её основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних.
• Если две величины изменяются так, что их отношение остаётся постоянным, это прямая пропорциональность.
• Если две величины изменяются так, что их произведение остаётся постоянным, это обратная пропорциональность.
• Процентное изменение вычисляется как отношение изменения величины к исходному значению, умноженное на 100%.
• Сложный процент (процент на процент) применяется в банковских вкладах и показывает, как растёт сумма с учётом начисленных процентов за предыдущие периоды.
• Масштаб — это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.

Процент

Одна сотая часть числа. Обозначается знаком «%». Например, 5% от 200 — это 5/100 * 200 = 10.

Отношение

Частное двух чисел, показывающее, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно составляет от другого. Например, отношение 6 к 3 равно 2, то есть 6 в два раза больше 3.

Пропорция

Равенство двух отношений, например a/b = c/d. Читается: «a относится к b как c относится к d».

Основное свойство пропорции

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: a*d = b*c. Это свойство позволяет находить неизвестный член пропорции.

Прямая пропорциональность

Зависимость, при которой увеличение одной величины в несколько раз приводит к увеличению другой величины во столько же раз. Например, стоимость товара пропорциональна его весу.

Обратная пропорциональность

Зависимость, при которой увеличение одной величины в несколько раз приводит к уменьшению другой величины во столько же раз. Например, время в пути обратно пропорционально скорости.

Масштаб

Отношение длины отрезка на карте (чертеже) к длине соответствующего отрезка на местности (в реальности). Например, масштаб 1:100000 означает, что 1 см на карте соответствует 1 км на местности.

• Чтобы найти процент от числа, нужно умножить число на дробь, соответствующую проценту: p% от A = A * p/100.
• Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и умножить на 100%.
• Основное свойство пропорции: a/b = c/d => a*d = b*c. Это ключевой инструмент для решения задач на пропорции.
• При решении задач на проценты часто используют пропорцию: «часть относится к целому как процент к 100%».
• Формула сложного процента: S = P * (1 + r/100)^n, где P — начальная сумма, r — процентная ставка за период, n — число периодов.
• Отношение можно выражать в процентах: если отношение a/b = 0.25, то это 25%.

1. Пример 1расчёт

   Скидка в магазине

   Решение

   • если товар стоил 2000 рублей, а скидка 15%, то экономия составит 2000 * 0.15 = 300 рублей
2. Пример 2расчёт

   Масштаб карты

   Решение

   • если масштаб 1:50000, то 3 см на карте соответствуют 3 * 50000 = 150000 см = 1.5 км на местности
3. Пример 3расчёт

   Приготовление раствора

   Решение

   • для приготовления 2 литров 5% раствора соли нужно взять 2 * 0.05 = 0.1 литра соли и 1.9 литра воды
4. Пример 4случай

   Банковский вклад

   Пояснение

   • если положить 10000 рублей под 10% годовых, то через год будет 11000 рублей, а через два года — 12100 рублей (сложный процент)

• Слово «процент» происходит от латинского «pro centum», что означает «на сто». В Древнем Риме проценты использовались для расчёта налогов и процентов по долгам.
• Знак «%» появился в XVII веке как сокращение итальянского «per cento» — через букву «p» и «c», которые со временем слились в символ.
• В природе пропорции встречаются повсюду: например, отношение длины окружности к диаметру — это знаменитое число π, которое примерно равно 3.14.

• Отношения и пропорции (6 класс)
• Проценты (5–6 класс)
• Решение задач на смеси и сплавы (8 класс)
• Функции и графики (9 класс)
• Прогрессии (9 класс)