Повторение, обобщение и систематизация знаний. Функции: построение, свойства изученных функций

Научиться системно описывать любую изученную функцию: по формуле — строить график, по графику — перечислять свойства, и видеть, как эти свойства проявляются в жизни.

Функции — это математические модели реальных процессов: от движения автомобиля до роста населения. Умение строить и анализировать графики помогает принимать решения (например, когда бизнес выйдет на прибыль) и понимать закономерности окружающего мира.

• Функция — это правило, по которому каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.
• График функции — это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых — значения аргумента, а ординаты — соответствующие значения функции.
• Свойства функции (область определения, область значений, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание/убывание) полностью описывают её поведение.
• Линейная функция y = kx + b — самая простая, её график — прямая, и она моделирует равномерные процессы.
• Квадратичная функция y = ax² + bx + c имеет график — параболу, и она описывает движение с ускорением, например, полет мяча.
• Обратная пропорциональность y = k/x задаёт гиперболу и описывает обратно пропорциональные зависимости, например, время пути при постоянной скорости.
• Степенная функция y = xⁿ обобщает все предыдущие, и её график зависит от показателя степени n.
• Знание свойств функций позволяет предсказывать поведение процесса без построения графика, просто анализируя формулу.

Функция

Правило, по которому каждому значению переменной x (аргументу) ставится в соответствие единственное значение переменной y (функции).

Область определения функции

Все значения, которые может принимать аргумент x (при которых формула имеет смысл).

Область значений функции

Все значения, которые может принимать сама функция y (все ординаты точек графика).

Нули функции

Значения x, при которых y = 0 (точки пересечения графика с осью Ox).

Возрастающая функция

Функция, у которой большему значению аргумента соответствует большее значение функции (график идёт вверх).

Убывающая функция

Функция, у которой большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (график идёт вниз).

Чётная функция

Функция, для которой f(-x) = f(x), её график симметричен относительно оси Oy (например, y = x²).

Нечётная функция

Функция, для которой f(-x) = -f(x), её график симметричен относительно начала координат (например, y = x³).

• Линейная функция y = kx + b: график — прямая; если k > 0 — возрастает, если k < 0 — убывает; k — угловой коэффициент (тангенс угла наклона), b — точка пересечения с осью Oy.
• Квадратичная функция y = ax² + bx + c: график — парабола; ветви вверх при a > 0, вниз при a < 0; вершина находится по формуле x₀ = -b/(2a), y₀ = y(x₀).
• Обратная пропорциональность y = k/x: график — гипербола, состоящая из двух ветвей; при k > 0 ветви в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV; область определения x ≠ 0.
• Степенная функция y = xⁿ: при чётном n график — парабола (симметричен относительно Oy), при нечётном n — кубическая парабола (симметричен относительно начала координат).
• Сдвиги графиков: y = f(x) + a — сдвиг вверх на a (если a > 0), y = f(x - a) — сдвиг вправо на a, y = -f(x) — отражение относительно оси Ox.
• Чтобы построить график функции, нужно: 1) найти область определения, 2) вычислить несколько точек, 3) нанести их на координатную плоскость и соединить плавной линией, учитывая характер функции.

1. Пример 1случай

   Если вы едете на машине с постоянной скоростью 60 км/ч, то пройденный путь S = 60t

   Пояснение

   • это линейная функция от времени t
2. Пример 2расчёт
   • Бросая мяч вертикально вверх
   • его высота h(t) = -5t² + 20t — это квадратичная функция, график которой — парабола, и по нему можно найти максимальную высоту и время полёта
3. Пример 3расчёт
   • Если вы печёте печенье по рецепту, где на 1 кг муки нужно 200 г сахара
   • то количество сахара y = 200x — линейная функция от количества муки x
4. Пример 4расчёт
   • Время, за которое вы доедете до дачи
   • обратно пропорционально скорости: t = S/v. При увеличении скорости время уменьшается — это обратная пропорциональность

• График обратной пропорциональности — гипербола — это траектория, по которой движется комета, пролетающая мимо Солнца и не возвращающаяся обратно.
• Парабола — это не только график квадратичной функции, но и форма антенн спутниковой связи: они собирают сигнал в фокусе параболы.
• Линейная функция используется в экономике для моделирования спроса и предложения: цена и количество товара связаны прямой зависимостью.

• Квадратичная функция и её график (9 класс)
• Обратная пропорциональность (8 класс)
• Линейная функция (7 класс)
• Степенные функции (9 класс)
• Решение уравнений и неравенств с помощью графиков